板块三数列微专题20数列求和的常用方法高考定位近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档．【真题体验】(2024·全国甲卷)设Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4.(1)求{an}的通项公式；因为4Sn＝3an＋4①，所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4②.则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1.当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n－1.(2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.因为bn＝(－1)n－1nan＝(－1)n－1n×4×(－3)n－1＝4n·3n－1，所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1，所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n－1)－4n·3n＝4＋4×3（1－3n－1）1－3－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n，所以Tn＝1＋(2n－1)·3n.精准强化练热点一分组求和与并项求和热点二裂项相消法求和热点三错位相减法求和热点突破热点一分组求和与并项求和1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.例1已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4，且Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2.(1)证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；由Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝2，∴an＋2－an＋1＝2，又a2－a1＝4－2＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n.(2)若等比数列{bn}满足b1＝1，b2＋b3＝0，求数列{an·bn}的前2n项和T2n.设等比数列{bn}的公比为q，q≠0，则b2＋b3＝q＋q2＝0，∴q＝－1，∴bn＝(－1)n－1，∴an·bn＝2n·(－1)n－1，∴T2n＝2－4＋6－8＋…＋2(2n－1)·(－1)2n－2＋2(2n)·(－1)2n－1＝(2－4)＋(6－8)＋…＋[2(2n－1)·(－1)2n－2＋2(2n)·(－1)2n－1]＝－2＋(－2)＋…＋(－2)＝－2n.分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，转化为若干个可求和的数列的和或差，然后再求和.规律方法训练1已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，且满足(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，n∈N＋.(1)求a1及通项公式an；对于(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，①n＝1时，(a1＋2)2＝4a1＋5，a21＝1，而an>0，则a1＝1.又(an＋1＋2)2＝4Sn＋1＋4(n＋1)＋1，②由②－①可得(an＋1＋2)2－(an＋2)2＝4an＋1＋4，a2n＋1＝(an＋2)2，而an>0，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2.∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N＋).(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn. bn＝(－1)n·(2n－1)，∴Tn＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n(2n－1)，当n为偶数时，；当n为奇数时，Tn＝－(2n－1)＝－n.综上所述，Tn＝(－1)n·n(n∈N＋).热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n－1）（2n＋1）＝1212n－1－12n＋1；1n（n＋k）＝1k1n－1n＋k.(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n（2n－1）（2n＋1－1）＝12n－1－12n＋1－1；n＋1n2（n＋2）2＝141n2－1（n＋2）2.(3)分母含无理式1n＋n＋1＝n＋1－n.例2(2024·东北三省三校模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差为d，记{an}的前n项和为Sn，S4－2a2a3＋14＝0.(1)求数列{an}的通项公式；由题意可得，S4－2a2a3＋14＝4a1＋6d－2(a1＋d)(a1＋2d)＋14＝4＋6d－2(1＋d)(1＋2d)＋14＝0，整理得d2＝4，则d＝±2，可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1或an＝1－2(n－1)＝－2n＋3，故an＝2n－1或an＝－2n＋3.(2)若数列{an}的公差d>1，令cn＝an＋2an·an＋1·2n，求数列{cn}的前n项和Tn.因为d>1，由(1)可得d＝2，an＝2n－1，则cn＝2n＋3（2n－1）（2n＋1）·2n＝1（2n－1）·2n－1－1（2n＋1）·2n，故Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－13×21＋13×21－15×22＋…＋1（2n－1）·2n－1－1（2n＋1）·2n＝1－1（2n＋1）·2n，所以Tn＝1－1（2n...