板块三数列微专题21数列的奇偶项问题高考定位有关数列的奇偶项问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的关键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等，涉及求通项、求和等.(1)求通项公式常用的方法有：隔项等差、等比数列型：将用2k－1或2k替代n，求出a2k－1，a2k的通项；(2)求数列的前n项和常用的方法有：方法一：分别求出S奇，S偶，利用Sn＝S奇＋S偶，这种思路本质上是分组求和；方法二：把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求出S2k－1，这种思路本质上是并项求和.【真题体验】(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋1，n为奇数，an＋2，n为偶数.(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝an＋1，n为奇数，an＋2，n为偶数，所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，(2)求{an}的前20项和.因为an＋1＝an＋1，n为奇数，an＋2，n为偶数，所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，①a2k＋1＝a2k＋2，②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋10×92×3＋20＋10×92×3＝300.【热点突破】精准强化练热点一an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)型热点三通项公式中含有(－1)n型热点突破热点二an＝f（n），n为奇数，g（n），n为偶数型热点一an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)型例1(2024·衡水调研)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋4n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；由题意得当n＝1时，a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3，当n＝1时，a1＝5，适合上式，故an＝2n＋3.(2)若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，求c1的取值范围.由(1)知，cn＋1＋cn＝2n＋3，当n＝1时，c2＋c1＝5；当n≥2时，cn＋cn－1＝2(n－1)＋3，两式相减得cn＋1－cn－1＝2(n≥2)，∴数列{c2n}是以c2为首项，公差为2的等差数列，数列{c2n－1}是以c1为首项，公差为2的等差数列.当n为偶数时，cn＝c2＋2×n2－1＝n＋3－c1；当n为奇数时，cn＝c1＋2×n＋12－1＝n－1＋c1，∴cn＝n－1＋c1，n＝2k－1，n＋3－c1，n＝2k.对任意的n∈N*，都有cn＋2n2≥0成立，①当n为奇数时，n≥1，cn＋2n2＝n－1＋c1＋2n2≥0恒成立，即－c1≤2n2＋n－1对n为奇数恒成立，当n＝1时，(2n2＋n－1)min＝2，∴－c1≤2，即c1≥－2；②当n为偶数时，n≥2，cn＋2n2＝n＋3－c1＋2n2≥0恒成立，即c1≤2n2＋n＋3对n为偶数恒成立，当n＝2时，(2n2＋n＋3)min＝13，∴c1≤13.综上所述，c1的取值范围是[－2，13].规律方法1.构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q(p，q≠0)⇒an＋2＋an＋1＝p(n＋1)＋q⇒两式相减得⇒an＋2－an＝p；2.构造隔项等比数列：an＋1·an＝pqn(p，q≠0)⇒an＋2·an＋1＝pqn＋1⇒两式相除得⇒an＋2an＝q.训练1在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝12n，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； an·an＋1＝12n，∴an＋1·an＋2＝12n＋1，∴an＋2an＝12，即an＋2＝12an，∴bn＋1bn＝a2n＋2＋a2n＋1a2n＋a2n－1＝12（a2n＋a2n－1）a2n＋a2n－1＝12. a1＝1，a1·a2＝12，∴a2＝12， b1＝a2＋a1＝12＋1＝32，∴数列{bn}是以32为首项，12为公比的等比数列，∴bn＝32·12n－1＝32n.(2)求数列{an}的通项公式；由(1)可知an＋2＝12an，且a1＝1，a2＝12，∴数列{a2n}...