小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点20利用导数证明不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果【核心题型】题型一将不等式转化为函数的最值问题待不等式的含有同一量，一般地，可以直接造证两边个变时构“左右减”的函，有数时对的式子要行形，利用究其性和最，借助所造函的性和最复杂进变导数研单调值构数单调值即可得．证【例题1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数研究单调性即可求解A，构造函数，求导即可判断C,构造函数即可求解B，根据指数以及对数的性质即可求解D.【详解】令且，则，故在上递减，又，所以，A错误；令且，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以上，递减，上，递增，而，此时不能比较，的大小，所以无法确定的大小，C错误；令且，则，故在上递增，又，所以，B错误；由于，所以，故,D正确，故选：D【变式1】（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（）①②③④A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】本题以判断不等式是否成立为切入点设题，根据不等式的结构特征转化不等式，构造函数，借助导数判断函数的单调性判断大小，从而判断出不等式的正误.【详解】对于①：，构造函数，则，令，则恒成立，所以在上单调递减，所以，故当时，，所以，所以在上单调递减，所以，故①正确；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com对于②：，由①知，故②正确；对于③：，由①知，故③正确；对于④：令，则，，注意到当，，故④正确.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查了函数值的大小比较，解答时要注意根据函数值的特征，构造适当的函数，利用导数判断单调性，进而比较大小【变式2】（2024·四川成都·三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设，且是的极值点，证明：.【答案】(1)答案见解析.(2)证明见解析.【分析】（1）求导分析的符号，讨论的单调性，即可求解.（2）先对求导，结合导数与单调性及极值的关系，得到，再结合要证不等式构造函数，求导并结合单调性与最值即可证明.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，恒成立，在上单调递减，当时，由，得，由，得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）函数的定义域为，求导得，由是的极值点，得，即，，而，则当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得极小值.设，求导得，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，因此，所以【变式3】（2024·四川成都·三模）已知函数.(1)若，证明：；(2)若函数在内有唯一零点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）对求导后构造函数，通过求导得出的单调性和范围得出函数的单调性，进而得出结论；（2）分类讨论参数与的关系，并通过构造函数和多次求导来探究函数的单调性，即可得出满足函数在内有唯一零点的实数的取值范围.【详解】（1）由题意，在中，当时，不等式等价于，则，令函数，则，，所以函数在上单调递增，且，在上恒成立，即函数在上单调递增，且，所以时，不等式成立；（2）由题意及（1）得，在中，当时，，由（1）可知此时，所以此时函数没有零点，与已知矛盾，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，，令函数，所以，令函数，，①若，所以函数在上递增，且，，使函数在上递减，在上递增，②若时，显然，所以函数在上递减，在上递增，且，使函数在上递减，在上递增，又，，且，使得，综上得，...