小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第4第讲2利用究函的零点课时导数研数型题函零点的探究数个数典例1已知函数f(x)＝a＋sinx的象在点图(0，f(0))的切处线与y垂直轴．即f′(0)＝0.(1)求实数a的；值(2)讨论f(x)在区间(－π，π)上的零点．个数分在别讨论区间(－π，0)，，的零点情．况解：(1)f(x)＝a＋sinx，则f′(x)＝a·＋cosx，由意，得函题数f(x)的象在点图(0，f(0))的切斜率处线为0，即f′(0)＝a＋1＝0，得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－＋sinx，f(0)＝0，f′(x)＝＋cosx，则f″(x)＝－sinx.当x∈(－π，0)，＞时0，sinx＜0，此时f″(x)＞0，f′(x)增单调递，二的符，明一的性．阶导数号说阶导数单调f′(x)＜f′(0)＝－1＋1＝0，故函数f(x)，单调递减f(x)＞f(0)＝0，故函数f(x)在(－π，0)上无零点．前面一段，主要述叙f(x)在(－π，0)上无零点.即x∈(－π，0)，时f(x)，单调递减f(x)＞0恒成立．当x∈(0，π)，时将f(x)形得变f(x)＝－＋sinx＝(exsinx－x)，设F(x)＝exsinx－x，则F′(x)＝ex(sinx＋cosx)－1，设k(x)＝ex(sinx＋cosx)－1，其实x∈，时ex＞1，sinx＋cosx＞1，故知k(x)＞0无零点．则k′(x)＝2excosx，易知当x∈，时k′(x)＞0，当x∈，时k′(x)＜0，故k(x)在上增，在上，又单调递单调递减k(0)＝0，k＝e－1＞0，k(π)＝－eπ－1＜0，故存在x0∈，使k(x0)＝0，当x∈(0，x0)，时k(x)＞0，F(x)增；单调递当x∈(x0，π)，时k(x)＜0，F(x)，又单调递减F(0)＝0，故F(x0)＞0，又F(π)＝－π＜0，故函数f(x)在(0，x0)上有零点没，在(x0，π)上有1零点．个上所述，综f(x)在区间(－π，π)上的零点个数为2.确定函零点的方法数个数(1)形合法：建函数结构数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，化确定转为g(x)的零点求解，利用究函的性、，确定定域端点的符个数问题导数研该数单调极值并义区间值号(或化变趋势)等，出画g(x)的象草，形合求解函零点的．图图数结数个数(2)利用函零点存在定理：先用定理判函在某上有零点，然后利用数该断数区间导数研究函的性、数单调极值(最值)及端点的符，而判函在上零点的区间值号进断数该区间个数．点对练1(2024·湖北武模汉拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝tanx.(1)讨论f(x)的性；单调小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)函设数F(x)＝f(x)－g(x)，判试断F(x)在∪的零点．内个数解：(1)函数f(x)＝的定域义为{x|x≠0}，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(－∞，0)，时f′(x)＜0；当x∈(0,1)，时f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)，时f′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，0)，(0,1)上，在单调递减区间(1，＋∞)上增．单调递(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－tanx＝0，得xsinx－excosx＝0.设h(x)＝xsinx－excosx，所以h′(x)＝(ex＋1)sinx＋(x－ex)cosx.①当x∈，可知时ex＞0＞x，则ex＞x，所以x－ex＜0，又sinx＜0，cosx＞0，所以h′(x)＜0，而从h(x)＝xsinx－excosx在上，单调递减又h(0)＝－1，h＝＞0，由零点存在定理及h(x)的性，得单调h(x)在上有一零点．个②当x∈，时cosx≥sinx＞0，由(1)知函数f(x)＝在(0,1)上，所以单调递减x∈，函时数f(x)＝＞f(1)＝e＞1，则ex＞x＞0.所以excosx＞xsinx，则h(x)＝xsinx－excosx＜0恒成立．所以h(x)在上无零点．③当x∈，时sinx＞cosx＞0，h′(x)＝ex(sinx－cosx)＋(xcosx＋sinx)＞0，则h(x)在上增．单调递又h＝＞0，h＝·－·e＝＜0，由零点存在定理及h(x)的性，得单调h(x)在上存在一零点．个上，综h(x)在∪的零点内个数为2，即F(x)在∪的零点内个数为2.型题已知函零点求的取范数个数参数值围典例2(2024·河北衡水中月考学)已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e自然为对数的底．数(1)求f(x)的；单调区间(2)若函数f(x)在区间(0,1)上存在零点，求实数a的取范．值围解：(1)由f(x)＝ex－ax－1得f′(x)＝ex－a.含的．参单调区间讨论当a≤0，时f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的增单调递区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．当a＞0，令时f′(x)＜0，得x＜lna；令f′(x)＞0，得x＞lna.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，增单调递区间为(lna，＋∞)．上，综当...