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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com限跟踪时检测(二十)利用明不等式导数证1.已知函数g(x)=mx2-(4m+2)x+4lnx(a∈R).(1)当m=1,求时g(x)的象在点图(1,g(1))的切方程;处线(2)当m=0,明:时证g(x)+2x<4ex-8(其中e自然的底为对数数).2.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x-1,明:证(1)当x∈(0,+∞),不等式时f(x)≤g(x)恒成立;(2)于任意正整对数n,不等式…<e恒成立(其中e自然的底为对数数).3.已知函数f(x)=aex-1-lnx-1.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在(1,f(1))的切方程;处线(2)明:证当a≥1,时f(x)≥0.4.(2023·天津卷)已知函数f(x)=ln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在x=2切的斜率;处线(2)当x>0,明:时证f(x)>1;(3)明:证<ln(n!)-lnn+n≤1,n∈N*.5.(2024·宁重点中模辽学拟)已知函数f(x)=xlnx-ax3-x,a∈R.(1)若f(x)存在增,求单调递区间a的取范;值围(2)若x1,x2(x1<x2)是f(x)的点,明:两个极值证3lnx1+lnx2>1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6.函设数f(x)=3sin2x+2sin3xcosx+ax,a∈R.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上增,求单调递a的取范;值围(2)明:证∀n∈N*,cos2x+cos4x+…+cos22n-2x+cos22n-1x+n≥0.解析版1.已知函数g(x)=mx2-(4m+2)x+4lnx(a∈R).(1)当m=1,求时g(x)的象在点图(1,g(1))的切方程;处线(2)当m=0,明:时证g(x)+2x<4ex-8(其中e自然的底为对数数).(1)解:当m=1,时g(x)=x2-6x+4lnx,所以g′(x)=2x-6+,g′(1)=0,g(1)=-5,故g(x)的象在点图(1,g(1))的切方程是处线y=-5.(2)明:证当m=0,要明时证g(x)+2x<4ex-8,只需明证ex>lnx+2,令h(x)=ex-lnx-2(x>0),则h′(x)=ex-,令u(x)=h′(x)=ex-,则u′(x)=ex+>0,故h′(x)在(0,+∞)上增,单调递又h′(1)=e-1>0,h′=-2<0,故存在x0∈,使得h′(x0)=0,即ex0-=0,当x∈(0,x0),时h′(x)<0,即h(x),单调递减当x∈(x0,+∞),时h′(x)>0,即h(x)增,单调递故x=x0,时h(x)取得唯一的小,也是最小,极值值即h(x)min=ex0-lnx0-2=+x0-2>2-2=0,所以ex>lnx+2,即g(x)+2x<4ex-8.2.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x-1,明:证(1)当x∈(0,+∞),不等式时f(x)≤g(x)恒成立;(2)于任意正整对数n,不等式…<e恒成立(其中e自然的底为对数数).明:证(1)要不等式证f(x)≤g(x)成立,即证lnx≤x-1恒成立,令h(x)=lnx-x+1,则h′(x)=-1=,当0<x<1,时h′(x)>0,当x>1,时h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上增,在单调递(1,+∞)上,单调递减所以h(x)≤h(1)=0,所以lnx≤x-1恒成立.(2)由(1)知lnx≤x-1,令x=1+,k∈N*,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则ln<,k∈N*,所以ln+ln+…+ln<++…+=1-<1,即…<e.3.已知函数f(x)=aex-1-lnx-1.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在(1,f(1))的切方程;处线(2)明:证当a≥1,时f(x)≥0.(1)解:当a=1,时f(x)=ex-1-lnx-1(x>0),f′(x)=ex-1-,f′(1)=0,又f(1)=0,∴切点为(1,0).∴切方程线为y-0=0(x-1),即y=0.(2)明:证 a≥1,∴aex-1≥ex-1,∴f(x)≥ex-1-lnx-1.方法一:令φ(x)=ex-1-lnx-1(x>0),∴φ′(x)=ex-1-,令h(x)=ex-1-,∴h′(x)=ex-1+>0,∴φ′(x)在(0,+∞)上增,又单调递φ′(1)=0,∴当x∈(0,1),时φ′(x)<0;当x∈(1,+∞),时φ′(x)>0,∴φ(x)在(0,1)上,在单调递减(1,+∞)上增,单调递∴φ(x)min=φ(1)=0,∴φ(x)≥0,∴f(x)≥φ(x)≥0.即f(x)≥0.方法二:令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1.当x∈(-∞,0),时g′(x)<0;当x∈(0,+∞),时g′(x)>0,∴g(x)在(-∞,0)上,在单调递减(0,+∞)上增,单调递∴g(x)min=g(0)=0,∴ex≥x+1,当x=0取“=”.时同理可证lnx≤x-1,当x=1取“=”.时由ex≥x+1⇒ex-1≥x(当x=1取“=”时),由x-1≥lnx⇒x≥lnx+1(当x=1取“=”时),∴ex-1≥x≥lnx+1,即ex-1≥lnx+1,即ex-1-lnx-1≥0(当x...

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