小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com限跟踪时检测(二十)利用明不等式导数证1．已知函数g(x)＝mx2－(4m＋2)x＋4lnx(a∈R)．(1)当m＝1，求时g(x)的象在点图(1，g(1))的切方程；处线(2)当m＝0，明：时证g(x)＋2x＜4ex－8(其中e自然的底为对数数)．2．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x－1，明：证(1)当x∈(0，＋∞)，不等式时f(x)≤g(x)恒成立；(2)于任意正整对数n，不等式…＜e恒成立(其中e自然的底为对数数)．3．已知函数f(x)＝aex－1－lnx－1.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))的切方程；处线(2)明：证当a≥1，时f(x)≥0.4．(2023·天津卷)已知函数f(x)＝ln(x＋1)．(1)求曲线y＝f(x)在x＝2切的斜率；处线(2)当x>0，明：时证f(x)>1；(3)明：证<ln(n！)－lnn＋n≤1，n∈N*.5．(2024·宁重点中模辽学拟)已知函数f(x)＝xlnx－ax3－x，a∈R.(1)若f(x)存在增，求单调递区间a的取范；值围(2)若x1，x2(x1＜x2)是f(x)的点，明：两个极值证3lnx1＋lnx2＞1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．函设数f(x)＝3sin2x＋2sin3xcosx＋ax，a∈R.(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上增，求单调递a的取范；值围(2)明：证∀n∈N*，cos2x＋cos4x＋…＋cos22n－2x＋cos22n－1x＋n≥0.解析版1．已知函数g(x)＝mx2－(4m＋2)x＋4lnx(a∈R)．(1)当m＝1，求时g(x)的象在点图(1，g(1))的切方程；处线(2)当m＝0，明：时证g(x)＋2x＜4ex－8(其中e自然的底为对数数)．(1)解：当m＝1，时g(x)＝x2－6x＋4lnx，所以g′(x)＝2x－6＋，g′(1)＝0，g(1)＝－5，故g(x)的象在点图(1，g(1))的切方程是处线y＝－5.(2)明：证当m＝0，要明时证g(x)＋2x＜4ex－8，只需明证ex＞lnx＋2，令h(x)＝ex－lnx－2(x＞0)，则h′(x)＝ex－，令u(x)＝h′(x)＝ex－，则u′(x)＝ex＋＞0，故h′(x)在(0，＋∞)上增，单调递又h′(1)＝e－1＞0，h′＝－2＜0，故存在x0∈，使得h′(x0)＝0，即ex0－＝0，当x∈(0，x0)，时h′(x)＜0，即h(x)，单调递减当x∈(x0，＋∞)，时h′(x)＞0，即h(x)增，单调递故x＝x0，时h(x)取得唯一的小，也是最小，极值值即h(x)min＝ex0－lnx0－2＝＋x0－2＞2－2＝0，所以ex＞lnx＋2，即g(x)＋2x＜4ex－8.2．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x－1，明：证(1)当x∈(0，＋∞)，不等式时f(x)≤g(x)恒成立；(2)于任意正整对数n，不等式…＜e恒成立(其中e自然的底为对数数)．明：证(1)要不等式证f(x)≤g(x)成立，即证lnx≤x－1恒成立，令h(x)＝lnx－x＋1，则h′(x)＝－1＝，当0＜x＜1，时h′(x)＞0，当x＞1，时h′(x)＜0，所以h(x)在(0,1)上增，在单调递(1，＋∞)上，单调递减所以h(x)≤h(1)＝0，所以lnx≤x－1恒成立．(2)由(1)知lnx≤x－1，令x＝1＋，k∈N*，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则ln＜，k∈N*，所以ln＋ln＋…＋ln＜＋＋…＋＝1－＜1，即…＜e.3．已知函数f(x)＝aex－1－lnx－1.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))的切方程；处线(2)明：证当a≥1，时f(x)≥0.(1)解：当a＝1，时f(x)＝ex－1－lnx－1(x＞0)，f′(x)＝ex－1－，f′(1)＝0，又f(1)＝0，∴切点为(1,0)．∴切方程线为y－0＝0(x－1)，即y＝0.(2)明：证 a≥1，∴aex－1≥ex－1，∴f(x)≥ex－1－lnx－1.方法一：令φ(x)＝ex－1－lnx－1(x＞0)，∴φ′(x)＝ex－1－，令h(x)＝ex－1－，∴h′(x)＝ex－1＋＞0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上增，又单调递φ′(1)＝0，∴当x∈(0,1)，时φ′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)，时φ′(x)＞0，∴φ(x)在(0,1)上，在单调递减(1，＋∞)上增，单调递∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0，∴f(x)≥φ(x)≥0.即f(x)≥0.方法二：令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)，时g′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)，时g′(x)＞0，∴g(x)在(－∞，0)上，在单调递减(0，＋∞)上增，单调递∴g(x)min＝g(0)＝0，∴ex≥x＋1，当x＝0取“＝”．时同理可证lnx≤x－1，当x＝1取“＝”．时由ex≥x＋1⇒ex－1≥x(当x＝1取“＝”时)，由x－1≥lnx⇒x≥lnx＋1(当x＝1取“＝”时)，∴ex－1≥x≥lnx＋1，即ex－1≥lnx＋1，即ex－1－lnx－1≥0(当x...