§4.8正弦定理、余弦定理第四章三角函数与解三角形1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.考试要求内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分知识梳理定理正弦定理余弦定理容内＝＝＝2Ra2＝；b2＝；c2＝________________asinAbsinBcsinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所的分是对边别a，b，c，R为△ABC外接半，圆径则知识梳理形变(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝__________________cosA＝；cosB＝；cosC＝____________a2Rb2Rc2R2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22aca2＋b2－c22ab知识梳理2.三角形解的判断A角为锐A角或直角为钝形图系式关a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解解两一解一解知识梳理(2)S＝＝＝；3.三角形中常用的面公式积(1)S＝12aha(ha表示边a上的高)；12absinC12acsinB12bcsinA(3)S＝(r三角形的切半为内圆径).12r(a＋b＋c)常用结论在△ABC中，常有以下：结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意之和大于第三，任意之差小于第三两边边两边边.(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.常用结论(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝pp－ap－bp－cp＝12a＋b＋c.思考辨析判下列是否正确断结论(在括中打请号“√”或“×”)(1)三角形中三之比等于相的三角之比边应个内.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六元素中，已知任意三元素可求其他元素个个.()(4)当b2＋c2－a2>0，时△ABC角三角形为锐.()√×××教材改编题1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于A.π6B.π3C.2π3D.5π6√在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC为△ABC的角，内所以∠BAC＝2π3.教材改编题2.记△ABC的角内A，B，C的分对边别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于A.8B.4C.833D.433由S△ABC＝12acsinB＝12×2c×12＝4，得c＝8.√教材改编题3.在△ABC中，角A，B，C的分对边别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝.由正弦定理得sinC＝csinBb＝2sin30°2＝22，245°或135°因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°.探究核心题型第二部分例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的角内A，B，C的分对边别为a，b，c，已知(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简](2)求的最小值.[关键点：找到角B与角C，A的关系]题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B.2π3a2＋b2c2思维升华解三角形，如果式子中含有角的余弦或的二次式，要考用余弦时边虑定理；如果式子中含有角的正弦或的一次式，考用正弦定理，边则虑以上特征都不明，要考定理都有可能用到显时则虑两个.思维升华跟踪训练1(2022·全乙卷国)记△ABC的角内A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)明：证2a2＝b2＋c2；方法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，合正弦定理结asinA＝bsinB＝csinC，可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*).由余弦定理可得accosB＝a2＋c2－b22，abcosC＝a2＋b2－c22，2bccosA＝b2＋c2－a2，上述三式代入将(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)若a＝5，cosA＝2531，求△ABC的周长.由(1)及a2＝b2...
