§7.2球的切、接问题[培优课]第七章立体几何与空间向量球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心.例1(1)(2023·宣城模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝，AC＝4，∠BAC＝45°，三则棱锥P－ABC外接球的表面是积A.14πB.16πC.18πD.20π√题型一定义法22在△BAC中，∠BAC＝45°，AB＝22，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos45°＝8＋16－2×4×22×22＝8，则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC直角三角形，为又△PAC直角三角形，为所以PC是三棱锥P－ABC外接球直，径设O是PC的中点，即球心，为又AC＝4，PA＝2，所以PC＝AC2＋PA2＝42＋22＝25，所以外接球半径为5，所以所求外接球的表面积S＝4π×(5)2＝20π.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三台的高棱为1，上、下底面分边长别为，其点都在同一球面上，球的表面顶则该积为A.100πB.128πC.144πD.192π33和43√由意，得正三台上、下底面的外接的半分题棱圆径别为23×32×33＝3，23×32×43＝4.台上、下底面的外接的心分设该棱圆圆别为O1，O2，接连O1O2(略图)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.球设O的半径为R，球心当O在段线O1O2上，时R2＝32＋OO21＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；球心当O不在段线O1O2上，时R2＝42＋OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以球的表面该积为4πR2＝100π.上，球的表面综该积为100π.思维升华到各点距离均相等的点外接球的球心，借助有特殊性底面的外个顶为接心，找其垂，球心一定在垂上，再根据到其他点距离圆圆线则线顶也是半，列系式求解即可径关.思维升华跟踪训练1已知直三柱棱ABC－A1B1C1的6点都在球个顶O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，球则O的半径为A.3172B.210C.132D.310√由意作如，球心题图图过O作平面ABC的垂，线垂足则为BC的中点M. AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，∴球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.例2(1)(2023·大模庆拟)在正方形ABCD中，E，F分段别为线AB，BC的中点，接连DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分沿别DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，三的外接球半则该棱锥径R切球半与内径r的比值为题型二补形法√A.23B.43C.26D.6因在正方形为ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以折起后OD，OE，OF互相垂直，两两故三的外接球，该棱锥即以OD，OE，OF的方体的外接球为棱长.正方形设ABCD的边长为2，则OD＝2，OE＝1，OF＝1，故2R＝OD2＋OE2＋OF2＝6，则R＝62.三棱锥O－DEF的表面积S＝4，切球球心设内为I，由VO－DEF＝13·S△OEF·OD＝13，VO－DEF＝VI－ODE＋VI－ODF＋VI－OEF＋VI－DEF＝13Sr，所以r＝14，有则Rr＝26.(2)如，在多面体中，四形图边ABCD矩形，为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通添加一三可以多面体成一直过个棱锥将该补个三柱，棱那添加的三的体么棱锥积为____，形后的直三柱的外接球的表面补棱积为_____.136π所以S△BCE＝12CE×BC＝12×1×1＝12，如，添加的三直三图棱锥为棱锥E－ADF，可以多面体成一直三柱将该补个棱ADF－BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，直三柱棱ADF－BCE的体积V＝S△BCE·AB＝12×2＝1，添加的三的体棱锥积为13V＝13.方法一如，分取图别AF，BE的中点M，N，接连MN，与AE交于点O，因四形为边AFEB矩形，为所以O为AE，MN的中点，在直三柱棱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面等腰直角三角形，直三柱的外接球的球心即为棱为点O，AO即球的半，为径所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π.方法二因为CE，CB，CD垂直，两两故直三柱将棱ADF－BCE成方体，补长外接球的半设径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π.因为AM＝12AF＝22，MO＝1，所以AO2＝AM2＋MO2＝12＋1＝32，思维升华(1)形法的解策略补题①面直角三角形，或均相等的模型...