§8.10圆锥曲线中求值与证明问题第八章直线和圆、圆锥曲线题型一求值问题(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝，求△PAQ的面积.[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在曲双线C：x2a2－y2a2－1＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q点，直两线AP，AQ的斜率之和为0.22思维升华思维升华求即是根据件列出的方程，通解方程求解值问题条对应过.跟踪训练1在平面直角坐系标Oxy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)点过1，22，焦距之比与长轴为22，A，B分是别椭圆C的上、下点，顶M是椭圆C上于异A，B的一点.(1)求椭圆C的方程；由已知可得2c2a＝22，1a2＋12b2＝1，a2＝b2＋c2，可得a2＝2，b2＝1，c2＝1，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且BP→＝3BM→，求△PMA的面；积点设M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)，BP→＝(x0，x0＋3)，BM→＝(x1，y1＋1)，由BP→＝3BM→可得3x1＝x0，3y1＋1＝x0＋3，解得x1＝x03，y1＝x03，即点Mx03，x03，因点为M在椭圆C上，则x0322＋x032＝1，可得x20＝6，因此，S△PMA＝S△PAB－S△MAB＝12|AB|·23|x0|＝263.(3)点过M作斜率为1的直分交线别椭圆C于另一点N，交y于点轴D，且点D在段线OA上(不包括端点O，A)，直线NA直与线BM交于点P，求的值.OD→·OP→设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0<t<1，则D(0，t)，立联y＝x＋t，x2＋2y2＝2，可得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，Δ＝16t2－12(2t2－2)＝24－8t2>0，由根系的系可得与数关x1＋x2＝－4t3，x1x2＝2t2－23，kNA＝y2－1x2＝x2＋t－1x2，直线NA的方程为y＝x2＋t－1x2x＋1，kMB＝y1＋1x1＝x1＋t＋1x1，直线BM的方程为y＝x1＋t＋1x1x－1，可得y－1y＋1＝x1x2＋t－1x1x1x2＋t＋1x2＝2t2－23＋t－1x12t2－23＋t＋1x2＝2t2－1＋3t－1x12t2－1＋3t＋1x2＝t－1t＋1·2t＋1＋3x12t－1＋3x2＝t－1t＋1·2t＋1＋－4t－3x22t－1＋3x2＝1－t1＋t，解得y＝1t，即点PxP，1t，因此，OD→·OP→＝t·1t＝1.题型二证明问题例2(2023·邵模阳拟)已知抛物线C的焦点F在x上，轴过F且垂直于x的直交轴线C于A(点A在第一象限)，B点，且两|AB|＝4.(1)求C的准方程；标由抛物线C的焦点F在x上，点轴A在第一象限，可知抛物口线开向右.抛物设线C的准方程标为y2＝2px(p>0)，则Fp2，0.由意知题AF⊥x，点轴则A的坐横标为p2，将x＝p2代入y2＝2px，可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以抛物线C的准方程标为y2＝4x.(2)已知l为C的准，线过F的直线l1交C于M，N(M，N于异A，B)点，明：直两证线AM，BN和l相交于一点.由(1)可知A(1,2)，B(1，－2).直设线l1的方程为x＝my＋1，立联y2＝4x，x＝my＋1，得y2－4my－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.直线AM的方程为y＝y1－2x1－1(x－1)＋2，即y＝4y1＋2(x－1)＋2，令x＝－1，解得y＝2y1－4y1＋2，所以直线AM准的交点与线为－1，2y1－4y1＋2，直线BN的方程为y＝y2＋2x2－1(x－1)－2，即y＝4y2－2(x－1)－2，令x＝－1，解得y＝－2y2－4y2－2.所以直线BN准的交点与线为－1，－2y2－4y2－2，因为2y1－4y1＋2－2y2－4y2－2＝－y1－2y2－2y1＋2y2＋2＝－y1y2－2y1＋y2＋4y1y2＋2y1＋y2＋4＝1，即2y1－4y1＋2＝－2y2－4y2－2，所以直线AM，BN和l相交于一点.思维升华曲明的型及求解策略圆锥线证问题类(1)曲中的明，主要有：一是明点、直、曲等圆锥线证问题两类证线线几何元素中的位置系，如：某点在某直上、某直某点、关线线经过个某直平行或垂直等；二是明直曲中的一些量两条线证线与圆锥线数关系(相等或不等).(2)解明，主要根据直曲的性、直曲决证问题时线与圆锥线质线与圆锥的位置系等，通相性的用、代式的恒等形以及必要线关过关质应数变的算等行明数值计进证.跟踪训练2(2022·宁德模拟)若A－1，－22...
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