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§8.11圆锥曲线中范围与最值问题第八章直线和圆、圆锥曲线题型一范围问题例1(2023·淄博模拟)已知F(3,0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,点M3,12在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;由意知,题椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为(-3,0),根据的定,可得点椭圆义M到焦点的距离之和两为3+32+12-02+12=4,即2a=4,所以a=2,又因为c=3,可得b=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)若直线l与椭圆C相交于A,B点,且两kOA+kOB=(O为坐原点标),求直线l的斜率的取范值围.-12直当线l的斜率不存在或斜率为0,合的性可知,时结椭圆对称kOA+kOB=0,不符合意题.故直设线l的方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),立方程联组y=kx+m,x24+y2=1,可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-14k2+1,所以kOA+kOB=y1x1+y2x2=kx1+mx2+kx2+mx1x1x2=2k+mx1+x2x1x2=2k+-8km24m2-1=-2km2-1,由kOA+kOB=-12,可得m2=4k+1,所以k≥-14,又由Δ>0,可得16(4k2-m2+1)>0,所以4k2-4k>0,解得k<0或k>1,上可得,直综线l的斜率的取范是值围-14,0∪(1,+∞).思维升华思维升华曲中取范的五常用解法圆锥线值围问题种(1)利用曲的几何性或判式造不等系,而确定圆锥线质别构关从参数的取范值围.(2)利用已知的范,求新的范,解的核心是参数围参数围决这类问题建立之的等量系两个参数间关.(3)利用含的不等系建立不等式,而求出的取范隐关从参数值围.思维升华思维升华(4)利用已知的不等系造不等式,而求出的取范关构从参数值围.(5)利用求函域的方法待求量表示其他量的函,求其域,数值将为变数值而确定的取范从参数值围.跟踪训练1(2022·宁模济拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0)上一点C(1,y0)到其焦点F的距离为2.(1)求实数p的;值因点为C(1,y0)到其焦点F的距离为2,由抛物的定知线义1+p2=2,解得p=2.(2)若焦点过F的直动线l抛物交于与线A,B点,两过A,B分作别抛物的切线线l1,l2,且l1,l2的交点为Q,l1,l2与y的交点分轴别为M,N.求△QMN面的取范积值围.由(1)可知,抛物线E:y2=4x,设Ay214,y1,By224,y2(y1≠0,y2≠0),设l:x=ty+1,立联y2=4x,x=ty+1,得y2-4ty-4=0,判式别Δ=16t2+16>0,故t∈R,y1+y2=4t,y1y2=-4,设l1:y-y1=kx-y214,立方程联组y2=4x,y-y1=kx-y214,消去x,整理得ky2-4y+4y1-ky21=0,所以Δ=16-4k(4y1-ky21)=4(4-4ky1+k2y21)=0,所以k=2y1,则l1:y-y1=2y1x-y214,即y=2y1x+y12,令x=0,得M0,y12,同理l2:y=2y2x+y22,N0,y22,立联y=2y1x+y12,y=2y2x+y22,得交点Q的坐横标为xQ=y1y24=-1,∴S△QMN=12|MN|·|xQ|=12y12-y22×1=14y1+y22-4y1y2=t2+1≥1,∴△QMN面的取范是积值围[1,+∞).题型二最值问题例2(2022·州模苏拟)已知曲双线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)点过(22,1),近方程渐线为y=±12x,直线l是曲双线C右支的一切,且条线与C的近交于渐线A,B点两.(1)求曲双线C的方程;由可知题设8a2-1b2=1,ba=12,解得a=2,b=1,则C:x24-y2=1.(2)点设A,B的中点为M,求点M到y的距离的最小轴值.点设M的坐横标为xM>0,直当线l的斜率不存在,直时则线l:x=2,易知点M到y的距离轴为xM=2;直当线l的斜率存在,时设l:y=kx+mk≠±12,A(x1,y1),B(x2,y2),立联x24-y2=1,y=kx+m,整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0整理得4k2=m2+1,立联x24-y2=0,y=kx+m,整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2=0,则x1+x2=-8km4k2-1=-8kmm2=-8km,则xM=x1+x22=-4km>0,即km<0,则x2M=16k2m2=4+4m2>4,即xM>2,此点时M到y的距离大于轴2.上所述,点综M到y...

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