§8.13圆锥曲线中探索性与综合性问题第八章直线和圆、圆锥曲线题型一探索性问题例1(2023·南通模拟)已知曲双线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且点过153，2.(1)求曲双线C的准方程；标依意题ca＝2，53a2－2b2＝1，合结c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝3，c＝2.所以曲双线C的准方程标为x2－y23＝1.(2)设Q曲为双线C右支第一象限上的一点，个动F曲为双线C的右焦点，在x的半上是否存在定点轴负轴M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐；若不存在，明理由标请说.假存在点设M(t,0)(t<0)足件满题设条.由(1)知曲双线C的右焦点为F(2,0).设Q(x0，y0)(x0≥1)曲为双线C右支上一点.当x0＝2，时因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是|MF|＝|QF|＝3，所以t＝－1.即M(－1,0).当x0≠2，时tan∠QFM＝－kQF＝－y0x0－2，tan∠QMF＝kQM＝y0x0－t.因为∠QFM＝2∠QMF，所以－y0x0－2＝2×y0x0－t1－y0x0－t2.将y20＝3x20－3代入整理得并－2x20＋(4＋2t)x0－4t＝－2x20－2tx0＋t2＋3，所以4＋2t＝－2t，－4t＝t2＋3，解得t＝－1.即M(－1,0).上，足件的点综满条M存在，其坐标为(－1,0).思维升华思维升华存在性的解策略问题题存在性的，先假存在，推足件的，若正确问题设证满条结论结论则存在，若不正确不存在结论则.(1)件和不唯一，要分当条结论时类讨论.(2)出而要推出存在的件，先假成立，再推出件当给结论导条时设条.(3)要的量能确定，可先确定，再明符合意当讨论够时证结论题.跟踪训练1(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.(1)求实数m的及抛物值线C的准方程；标由意得，题因点为M(2，m)在抛物上，所以线22＝2pm，由抛物的定，得线义m＋p2＝2，则m＋p2＝2，22＝2pm，解得m＝1，p＝2，所以抛物线C的准方程标为x2＝4y.(2)不点过M的直线l抛物与线C相交于A，B点，若直两线MA，MB的斜率之－积为2，判直试断线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此直时线l的方程；若不能，明理由请说.由(1)得M(2,1)，点设Ax1，x214，Bx2，x224，则kMA＝x1＋24，kMB＝x2＋24，所以kMAkMB＝x1＋24×x2＋24＝－2，得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；直设线AB方程为y＝kx＋b，由y＝kx＋b，x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，即直线AB恒抛物部的定点过线内N(－2,9)，又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好点经过N(－2,9)，且直当仅当线AB半与径MN垂直直时线AB与圆M相切，此时k＝－1kMN＝12，所以直线AB的方程为y＝12x＋10.题型二圆锥曲线的综合问题例2(2023·福州模拟)如，图O坐原点，抛物为标线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右点，顶椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝12.(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；由意知，题a＝4，ca＝12，所以c＝2，所以b＝a2－c2＝23，p＝4.所以抛物线C1的方程为y2＝8x，椭圆C2的方程为x216＋y212＝1.(2)过A点作直线l交C1于C，D点，射两线OC，OD分交别C2于E，F点，两记△OEF和△OCD的面分积别为S1和S2，是否存在直问线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，明理由请说.由知直题设线l的斜率不为0，直设线l的方程为x＝my＋4.立则联y2＝8x，x＝my＋4，得y2－8my－32＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.所以S2S1＝12|OC|·|OD|sin∠COD12|OE|·|OF|sin∠EOF＝|OC|·|OD||OE|·|OF|＝|y1|·|y2||yE|·|yF|＝32|yE|·|yF|，因直为线OC的斜率为y1x1＝y1y218＝8y1，所以直线OC的方程为y＝8y1x.由y＝8y1x，x216＋y212＝1，得y2y2164×16＋112＝1，则y2Ey2164×16＋112＝1，同理可得y2Fy2264×16＋112＝1，所以y2E·y2Fy2264×16＋112y2164×16＋112＝1，所以y2E·y2F＝36×256121＋48m2，要使S1∶S2＝3∶13，只需322×121＋48m236×256＝...