小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2、周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．3．函数对称性常用结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称．1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∑❑❑❑k=122f(k)=¿（）A．−21B．−22C．−23D．−24【答案】D【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g(2−x)=g(x+2)，因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+[7+f(x−2)]=5，即f(x)+f(x−2)=−2，所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(−2)×5=−10，f(4)+f(6)+…+f(22)=(−2)×5=−10.因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f(0)=1，所以f(2)=−2−f(0)=−3.因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，联立得，g(2−x)+g(x+4)=12，所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)=6因为f(x)+g(x+2)=5，所以f(1)=5−g(3)=−1.所以∑❑❑❑k=122f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+…+f(21)]+[f(4)+f(6)+…+f(22)]=−1−3−10−10=−24.故选：D2、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑k=122❑f(k)=¿（）A．−3B．−2C．0D．1【答案】A【解析】因为f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2，令x=0可得，f(y)+f(−y)=2f(y)，即f(y)=f(−y)，所以函数f(x)为偶函数，令y=1得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comf(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1)=f(x)，即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，从而可知f(x+2)=−f(x−1)，f(x−1)=−f(x−4)，故f(x+2)=f(x−4)，即f(x)=f(x+6)，所以函数f(x)的一个周期为6．因为f(2)=f(1)−f(0)=1−2=−1，f(3)=f(2)−f(1)=−1−1=−2，f(4)=f(−2)=f(2)=−1，f(5)=f(−1)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，所以一个周期内的f(1)+f(2)+⋯+f(6)=0．由于22除以6余4，所以∑k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1−1−2−1=−3．故选：A．3、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com．若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．5、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是...