小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第53讲空间向量的概念1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b非零向量为)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.(2)空间向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝1、在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】：A【解析】：a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2、已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A.B.2C.D.1【答案】A【解析】因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝.又ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，即4k＋k－2－5＝0，所以k＝.3、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为()A.共线B.共面C.不共面D.无法确定【答案】C【解析】AB＝(2，0，－4)，AC＝(－2，－3，－5)，AD＝(0，－3，－4).由不存在实数λ，使AB＝λAC成立，知点A，B，C不共，故点线A，B，C，D不共；假点线设A，B，C，D共面，可则设AD＝xAB＋yAC(x，y为实数)，即由于方程无解，故点该组A，B，C，D不共面，故选C.4、已知向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，则“m⊥n”是“l∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由l∥α，得m⊥n，所以“m⊥n”是“l∥α”的必要件；而由条m⊥n不一定有l∥α，也可能l⊂α，故“m⊥n”不是“l∥α”的充分件．故条“m⊥n”是“l∥α”的必要不充分件．条5、(2022·江高三考镇开学试)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是()A.B.C.3D.【答案】D【解析】因为CA1＝CA＋AA1＝CA＋CC1＝CD＋CB＋CC1，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，所以(CA1)2＝(CD＋CB＋CC1)2＝|CD|2＋|CB|2＋|CC1|2＋2|CD|×|CB|×cos60°＋2|CD|×|CC1|×cos60°＋2|CB|×|CC1|×cos60°＝1＋1＋4＋2×＋2×2×＋2×2×＝11，所以|CA1|＝，即段线A1C的度是长.考向一空间向量的线性运算例1、(1)已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是________；(填序号)①a∥b，a∥c;②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b.【解析】因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2...