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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第53讲空间向量的概念1.空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)共面向量共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理及推论定理:推论:2.数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积:①a·b=|a||b|cos〈a,b〉;②a⊥b⇔a·b=0(a,b非零向量为);③设a=(x,y,z),则|a|2=a2,|a|=.(2)空间向量的坐标运算:a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和向量差数量积共线a∥b⇒垂直a⊥b⇔夹角公式cos〈a,b〉=1、在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32、已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()A.B.2C.D.13、空间四点A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为()A.共线B.共面C.不共面D.无法确定4、已知向量m是直线l的方向向量,向量n是平面α的法向量,则“m⊥n”是“l∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5、(2022·江高三考镇开学试)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形,侧棱长为2,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,则线段A1C的长度是()A.B.C.3D.考向一空间向量的线性运算例1、(1)已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论中正确的是________;(填序号)①a∥b,a∥c;②a∥b,a⊥c;③a∥c,a⊥b.(2)已知a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),且a∥b,则x=________.(3)在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用向量OA,OB,OC表示MG,OG.变式1、(1)如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则向量BM=(用a,b,c表示).(2)如图,在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE=小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(用a,b,c表示).变式2、(多选)(2022·威海调研)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,ON=OM,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是()A.OM=b-cB.AN=b+c-aC.AP=b-c-aD.OP=a+b+c方法总结:本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算.用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点:(1)结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.考向二共线、共面向量定理的应用例2、已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)求证:BD∥平面EFGH;(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有OM=(OA+OB+OC+OD).变式1、(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是()A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件B.若AB,CD共线,则AB∥CDC.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若OP=OA+OB+OC,则P,A,B,C四点共面D.若P,A,B,C为空间四点,且有PA=λPB+μPC(PB,PC不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件变式2、已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM=(OA+OB+OC).(1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面;小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)判断点M是否在平面ABC内.变式3、.如图所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1)...

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