小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第54讲空间角与距离的计算（1）1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2l1⊥l2直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m,l∥α,n⊥m⇔l⊥α,n∥m⇔平面α，β的法向量分别为n，m,α∥β,n∥m⇔n＝α⊥β,n⊥m⇔3.异面直线所成的角3.设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围a与b的夹角βl1与l2所成的角θ求法cosβ＝cosθ＝|cosβ|＝4.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.5.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉①②③(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面2、【2018年新课标2卷理科】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．3、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=❑√3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．5、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2❑√2．(1)求A到平面A1BC的距离；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值．6、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．(1)证明：OE/¿平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．1、.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1)B．(1，－1，1)C.D.2、.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂α或l∥αD．l与α斜交3、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°4、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.考向一运用向量研究异面直线所成的角例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，求异面直线BC与AE所成的角的大小．变式1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则（）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为变式2、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com角的余弦值为________．方法总结：利用向量法求异面直线所成角的方法：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的...