小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题18圆锥曲线的综合应用（解答题）1、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【答案】(1)(2)证明见详解【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com与交于点P．证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.3、【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．【解析】(1)抛物线的准线为x=−p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时¿MF∨=p+p2=3，所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；(2)设M(y124,y1),N(y224,y2),A(y324,y3),B(y424,y4)，直线MN:x=my+1，由{x=my+1y2=4x可得y2−4my−4=0，Δ>0,y1y2=−4，由斜率公式可得kMN=y1−y2y124−y224=4y1+y2，kAB=y3−y4y324−y424=4y3+y4，直线MD:x=x1−2y1⋅y+2，代入抛物线方程可得y2−4(x1−2)y1⋅y−8=0，Δ>0,y1y3=−8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以kAB=4y3+y4=42(y1+y2)=kMN2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α,β，所以kAB=tanβ=kMN2=tanα2，若要使α−β最大，则β∈(0,π2)，设kMN=2kAB=2k>0，则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤12❑√1k⋅2k=❑√24，当且仅当1k=2k即k=❑√22时，等号成立，所以当α−β最大时，kAB=❑√22，设直线AB:x=❑√2y+n，代入抛物线方程可得y2−4❑√2y−4n=0，Δ>0,y3y4=−4n=4y1y2=−16，所以n=4，所以直线AB:x=❑√2y+4.4、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,−2),B(32,−1)两点．(1)求E的方程；(2)设过点P(1,−2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足⃑MT=⃑TH．证明：直线HN过定点．【解析】(1)解：设椭圆E的方程为mx2+ny2=1，过A(0,−2),B(32,−1)，则¿，解得m=13，n=14，所以椭圆E的方程为：y24+x23=1.(2)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA(0,−2),B(32,−1)，所以AB:y+2=23x，①若过点P(1,−2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入x23+y24=1，可得M(1,2❑√63)，N(1,−2❑√63)，代入AB方程y=23x−2，可得T(❑√6+3,2❑√63)，由⃑MT=⃑TH得到H(2❑√6+5,2❑√63).求得HN方程：y=(2−2❑√63)x−2，过点(0,−2).②若过点P(1,−2)的直线斜率存在，设kx−y−(k+2)=0,M(x1,y1),N(x2,y2).联立¿得(3k2+4)x2−6k(2+k)x+3k(k+4)=0，可得¿，¿，且x1y2+x2y1=−24k3k2+4(∗)联立¿可得T(3y12+3,y1),H(3y1+6−x1,y1).可求得此时HN:y−y2=y1−y23y1+6−x1−x2(x−x2)，将(0,−2)，代入整理得2(x1+x2)−6(y1+y2)+x1y2+x2y1−3y1y2−12=0，将(∗)代入，得24k+12k2+96+48k−24k−48−48k+24k2−36k2−48=0,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,−2).【点睛】5...
