小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍........................................................1二、典型题型........................................................2题型一：等差型...................................................2题型二：无理型...................................................5题型三：指数型...................................................8题型四：通项裂项为“”型.......................................11三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练..........................13一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型①1n(n+k)=1k(1n−1n+k)特别注意k=1,1n(n+1)=1n−1n+1;k=−1,1n(n−1)=1n−1−1n②如：14n2−1=12(12n−1−12n+1)（尤其要注意不能丢前边的12）类型二：无理型①1√n+k+√n=1k(√n+k−√n)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如：类型三：指数型①如：类型四：通项裂项为“”型如：①②本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.二、典型题型题型一：等差型例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以数列的通项公式为（2）因为，所以.所以数列的前n项和.例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．(1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式；(2)数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)答案详见解析(2)答案详见解析【详解】（1）选条件①：，，解法一：由，，得，，当时，，所以，又也符合，所以．解法二：由，得，所以数列是常数列，所以，所以．选条件②，，时，，又，显然不符合上式，所以.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）选条件①：，所以．因此，所以．选条件②，，当时，，又，符合，所以．例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列满足，.(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)数列成等比数列，证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）数列成等比数列，证明如下：根据得，；，，，即数列成等比数列.（2）由（1）得，，，故，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由，得.令，当时，单调递增，且，故，，，，，当时，，综上，知例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．(1)求和；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【详解】（1）设的公差为d（）．因为，所以，由得，解得，所以，得，所以，．（2）由（1）得，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以．题型二：无理型例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)当数列的公差不为0时，记数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)或(2)证明见解析【详解】（1）设数列的公差为d，由，，成等比数列，得，即，即，解得或.当时，；当时，.综上所述，或.（2）由（1）可知，当数列的公差不为0时，，，则，，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又，所以.例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列中，，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：设数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，又因为，则，即，解得，所以数列的通项公式为．（2）解：由，可得，所...