小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com押上海高考21题与导数有关综合题考点考题考情分析与导数有关综合题2023年考查方向数列与导数的综合、利用导数研究函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程一．数列与导数的综合（共1小题）1．（2023•上海）已知，在该函数图像上取一点，过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，，，直至停止，由这些项构成数列．（1）设属于数列，证明：；（2）试比较与的大小关系；（3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义，可得过点，的切线方程，再结合题意即可得证；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）由不等式，结合（1）即可得出结论；（3）易知公差，，考察函数，利用导数可知的单调性情况，进而得到至多存在两个，使得，由此可知，再验证即可．【解答】解：（1）证明：，则过点，的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令，可得，根据题意可知，，即得证；（2）先证明不等式，设，则，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，则（1），即，结合（1）可知，；（3）假设存在这样的符合要求，由（2）可知，数列为严格的递减数列，，2，3，，，由（1）可知，公差，，先考察函数，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，则至多只有两个解，即至多存在两个，使得，若，则，矛盾，则，当时，设函数，由于，，则存在，使得，于是取，，，它们构成等差数列．综上，．【点评】本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．（1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由；（2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值；（3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）设，，当，时，易知，即单调减，求得最值即可判断；（2）根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解；（3），，在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，即可得证．【解答】解：（1），设，，当，时，易知，即单调减，，即，是的“控制函数“；（2），，，即为函数的“控制函数“，又，且，；证明：（3），，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在处的切线为，，，（1）（1），，，，，恒成立，函数必是函数的“控制函数“，是函数的“控制函数“，此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线的下方，所以或，所以曲线在处的切线过点，且，，当且仅当或时，．【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题．一．数列与导数的综合数列的函数特性：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．【解题方法点拨】1．在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际...