小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）1.二维形式的柯西不等式2.二维形式的柯西不等式的变式3.二维形式的柯西不等式的向量形式注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。4.扩展：，当且仅当时，等号成立.【题型训练1-刷真题】二、题型精讲精练一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com一、填空题1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.【答案】【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.二、解答题小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以.[方法二]：基本不等式由，，，，当且仅当时，取等号，所以.（2）证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【题型训练2-刷模拟】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值．【答案】【分析】利用柯西不等式进行解答即可.【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故，即的最小值为．2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知，且满足，求的最小值．【答案】6【分析】利用柯西不等式求出最小值.【详解】由柯西不等式，得．得．所以．当且仅当，即时，上式等号成立．所以的最小值为6．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)证明见解析【分析】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；（2）利用柯西不等式．【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以，所以（当且仅当时等式成立），即；（2）因为，当且仅当等号成立，所以，即．4．（2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可；（2）构造基本不等式即可证明.【详解】（1）证明：由柯西不等式可得，当且仅当时取等号．即，则原式成立；（2）证明：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com．当且仅当时取等号.5．（2023·全国·高三专题练习）已知均为正数，且满足.证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据，结合柯西不等式证明即可；（2）根据柯西不等式证明，再根据证明即可.（1）证明：由柯西不等式有：，当且仅当时取等号，可得；（2）证明：由柯西不等式有，当且仅当时取“号，可得，又由，可得，可得，故有，当且仅当时取“号.6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设为正数，且.(1)证明；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)证明.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式可得，由此证明结论；（2）由重要不等式结合不等式性质可得，，结合不等式...