小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．2.等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和．注：数列是等差数列⇔（为常数）．二、等差数列的前n项和的最值1.公差为递增等差数列，有最小值；公差为递减等差数列，有最大值；公差为常数列．2.在等差数列中（1）若，则满足的项数使得取得最大值；（2）若，则满足的项数使得取得最小值．即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．二、题型精讲精练一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题1．（2023·四川泸州·统考三模）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知求得公差，得等差数列前项和，结合二次函数知识得最小值．【详解】设公差为，则，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以时，取得最小值．故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论．【详解】等差数列中，，则，，∴，解得，．∴，∴当时，取得最小值．故选：B．3．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列的前n项和为，公差为，若，则不正确的（）A．数列单调递减B．数列没有最小值C．数列{}单调递减D．数列{}有最大值【答案】C小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】根据等差数列的公差即可判断AB,根据的函数特征即可结合二次函数的性质求解CD.【详解】由于公差，所以单调递减，故A正确，由于为无穷的递减等差数列，所以B正确，由，故为开口向下关于的二次函数，且对称轴为，由于对称轴与1的关系不明确，所以无法确定单调性，但是由于开口向下，故有最大值，故C错误，D正确，故选：C4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A．10B．11C．12D．13【答案】A【分析】利用等差数列的性质得出即可求解.【详解】等差数列，，，，，则取最大值时，.故选：A.5．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解．【详解】因为等差数列中，，即，所以，因为，即，所以，由为等差数列，得时，；时，，所以当时，取得最大值．故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列...