小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．2.等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和．注：数列是等差数列⇔（为常数）．二、等差数列的前n项和的最值1.公差为递增等差数列，有最小值；公差为递减等差数列，有最大值；公差为常数列．2.在等差数列中（1）若，则满足的项数使得取得最大值；（2）若，则满足的项数使得取得最小值．即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．二、题型精讲精练一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题1．（2023·四川泸州·统考三模）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（）A．4B．5C．6D．73．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列的前n项和为，公差为，若，则小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com不正确的（）A．数列单调递减B．数列没有最小值C．数列{}单调递减D．数列{}有最大值4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A．10B．11C．12D．135．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（）A．3B．4C．5D．66．（2023·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．与均为的最大值7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（）A．B．C．D．8．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是D．的最大值是小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com9．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（）①为的最小值②③，④为的最小值A．1B．2C．3D．410．（2023·全国·高三专题练习）数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（）A．25B．22C．24D．2311．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是D．的最大值是12．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（）A．B．C．D．13．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（）A．6B．7C．8D．914．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n...