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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破05极值点偏移问题与拐点偏移问题目录1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在x=x0处取得极值,且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x1,b),B(x2,b)两点,则AB的中点为M(x1+x22,b),而往往x0≠x1+x22。如下图所示。小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义:对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,方程f(x)的解分别为x1、x2,且a<x1<x2<b,(1)若x1+x22≠x0,则称函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0偏移;(2)若x1+x22>x0,则函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0左偏,简称极值点x0左偏;(3)若x1+x22<x0,则函数y=f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0右偏,简称极值点x0右偏。2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下:(1)定函数(极值点为),即利用导函数符号的变化判断函数单调性,进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数,即根据极值点构造对称函数,若证,则令.(3)判断单调性,即利用导数讨论的单调性.(4)比较大小,即判断函数在某段区间上的正负,并得出与的大小关系.(5)转化,即利用函数的单调性,将与的大小关系转化为与之间的关系,进而得到所证或所求.【注意】若要证明的符号问题,还需进一步讨论与x0的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处导数值的正负.构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法,函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3、应用对数平均不等式证明极值点偏移:①由题中等式中产生对数;②将所得含对数的等式进行变形得到;③利用对数平均不等式来证明相应的问题.4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径,然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.题型一:极值点偏移:加法型例1.(2023·河南周口·高二校联考阶段练习)已知函数,(1)若,求的单调区间;(2)若,,是方程的两个实数根,证明:.例2.(2023·河北石家庄·高三校联考阶段练习)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个零点、,证明.例3.(2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)①证明函数(为自然对数的底数)在区间内有唯一的零点;②设①中函数的零点为,记(其中表示中的较小值),若小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在区间内有两个不相等的实数根,证明:.变式1.(2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知函数为其极小值点.(1)求实数的值;(2)若存在,使得,求证:.变式2.(2023·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习)已知函数,a为实数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数在处取得极值,是函数的导函数,且,,证明:变式3.(2023·江西景德镇·统考模拟预测)已知函数(1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值;(2)若函数在定义域上有两个极值点和,若,,求的最小值.变式4.(2023·全国·模拟预测)已知函数.(1)讨论函数的极值点的个数;小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)若函数恰有三个极值点、、,且,求的最大值.变式5.(2023·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习)已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当时,若,求证:变式6.(2023·...

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