小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破08证明不等式问题目录利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形题型一：直接法例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；(2)求证：当时，．（其中）【解析】（1）由题意得，，所以切线斜率，所以，即，此时切线方程为；（2）令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，所以，即恒成立，所以当时，．例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)求证：.【解析】（1）,，,所以切点为，由点斜式可得，，所以切线方程为：.（2）由题可得，设，，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，即.例3．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，．【解析】解：（1），因，，①当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；②当时，，函数在内单调递增；③当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；综上：当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；（2）当时，由（1）得，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com增，函数在内的最小值为，欲证不等式成立，即证，即证，因，所以只需证，令，则，所以，函数在，内单调递减，（1），又因，即．所以，即当时，成立，综上，当时，，．题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．(1)证明：；(2)讨论的单调性，并证明：当时，．【解析】（1）证明：令，则，所以在上单调递减，所以，即．令，则有，所以，所以，即．（2）由可得，令，则，令，则，所以在上单调递增，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，则有，所以在上单调递增，所以在上单调递增，所以对于，有，所以，所以，即，整理得：．例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：当时，．【解析】（Ⅰ）解：，，依题意（1）（1），；（Ⅱ）证明：由，得，令，则，时，，递减；时，，递增．时，（1），即，综上所述，时，．例6．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．【解析】（1）解：，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当时，，在上单调递增；当时，令，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上可得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：直线是函数图象的切线，设切点为，，则，即，切点在切线上，，，，解得，当时，等价于，等价于，设，则，，，由，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，（1），即，．变式1．已知函数．（1）证明：；（2）数列满足：，．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】证明：（1）由题意知，，，①当时，，所以在区间上单调递减，②当时，令，因为，所以在区间上单调递增，因此，故当时，，所以在区间上单调递增，因此当时，，所以；（2）（ⅰ）由（1）知，在区间上单调递增，，因为，故，所以，因此当时，，又因为，所以，（ⅱ）函数，，则，令，则，所以在区间上单调递增；因此，所以在区间上单调递减，所以，因此，所以对，．小学、初...