小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破12导数中的“距离”问题目录导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．题型一：曲线与直线的距离例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数，其中，若存在，使得成立，则实数的值为_________.【答案】10小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】设，则可看做图象上任意一点与图象上点的距离的平方，设函数过点的切线平行于直线．则，令，解得，∴切点．点P到直线的距离，此时，∴存在，使，过点P且与直线垂直的直线方程为：.联立，解得．即，时，存在使得为成立，此时.故答案为：10例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数满足，则的最小值______.【答案】【解析】由题意可得可以表示两点与之间距离的平方故，可以看成是函数，即函数在的切线与函数平行时求出最小值则，解得此时故的最小值为例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数满足，则小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com的最小值为_____．【答案】8【解析】实数、、、满足：，，设，，则有：，且，设，，则有：，就是曲线与直线之间的最小距离的平方值，对曲线求导：，与平行的切线斜率，解得：或（舍，把代入，得：，即切点为，切点到直线的距离：，的最小值就是8．故答案为：8.变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数，，，满足，则的最小值为___．【答案】【解析】由，得，所以表示直线上点到曲线上点距离的平方，由，令，解得或（舍），得，所以所求最小值为，故答案为：.变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数满足：，则的最小值为________【答案】/4.5【解析】由题设可得，，故，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设，，则，即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，而，令，则，此时对应的函数值为1，故函数的图象在处的切线为，的最小值即为平行线，之间的距离，此距离为，故的最小值为，故答案为：变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小值是，则的值是_______【答案】/【解析】函数，可得表示两点，的距离的平方，即有函数，图象上的两点距离的最小值的平方为，设直线与函数的图象相切，，设切点为，可得，解得，则，即有切点为，则，解得，则的值为．故答案为：．变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数，其中，存在，使得成立，则实数=_______.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】/【解析】设，设，则，而点P在曲线，点Q在直线上，当过曲线上的一点的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最小值由，可得，所以，到直线的距离，则，即恒成立，由题意可知存在，使得，则过点垂直于的直线为由，可得，则，则故答案为：变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设，当，变化时，则的最小值______．【答案】【解析】由可知，此式表示点与点间的距离，而点在曲线上，点在直线上，所以问题转化为求直线与曲线间的最小距离，将直线向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离，设直线向下平移与曲线相切时的直线方程为，设切点为，，则，得，所以，切点为，所以切线方程为，此时直线与间的距离为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为：题型二：曲线与点的距离例4．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率...