试卷第1页，共3页2022年高考全国甲卷数学（理）真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若，则（）A．B．C．D．2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．设全集，集合，则（）A．B．C．D．试卷第2页，共3页4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．205．函数在区间的图象大致为（）A．B．C．D．6．当时，函数取得最大值，则（）A．B．C．D．17．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，试卷第3页，共3页则（）A．B．AB与平面所成的角为C．D．与平面所成的角为8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）A．B．C．D．9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）A．B．C．D．10．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若试卷第4页，共3页直线的斜率之积为，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知，则（）A．B．C．D．二、填空题13．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．14．若双曲线的渐近线与圆相切，则．15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．三、解答题17．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．18．在四棱锥中，底面试卷第5页，共3页．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．19．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．21．已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．试卷第6页，共3页22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．23．已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．答案第1页，共2页《2022年高考全国甲卷数学（理）真题》参考答案题号12345678910答案CBDBABDBCA题号1112答案CA1．C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选：C2．B【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为,所以错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.故选:B.3．D【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.答案第2页，共2页4．B【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如...