小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题12导数与极限第一辑1．【2021年福建预赛】若关于x的不等式(x−2)ex<ax+1有且仅有三个不同的整数解，则整数a的最小值为.【答案】3【解析】设f(x)=(x−2)ex,g(x)=ax+1.则f'(x)=(x−1)ex,x<1时,f'(x)<0;x>1时,f'(x)>0.因此,f(x)在区间(−∞,1)上递减，在区间(1,+∞)上递增:且x<2时，f(x)<0;x>2时,f(x)>0.由此作出f(x)的草图如图所示.又g(x)的图像是过点(0,1)的直线，结合图像可知a>0.由于a>0时，f(0)=−2<g(0)=1;f(1)=−e<g(1)=a+1;f(2)=0<g(2)=2a+1,因此,0,1,2是不等式(x−2)ex<ax+1的三个整数解.由于不等式(x−2)ex<ax+1有且仅有三个不同的整数解,所以¿，即¿.经检验，a=3符合要求，所以，符合条件的a的最小值为3.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．【2019年贵州预赛】已知函数f(x)=(ex−e−x)⋅x3,若m满足f(log2m)+f(log0.5m)⩽2(e2−1e).则实数m的取值范围是.【答案】[12,2]【解析】由f(x)=(ex−e−x)⋅x3⇒f(−x)=f(x),且x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数.又由f(log2m)+f(log0,5m)≤2(e2−1e)⇒f(log2m)≤f(1).所以|log2m|≤1⇒−1≤log2m≤1⇒12≤m≤2.即m的取值范围是[12,2].3．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)−2f(x)−4>0，f(0)=−1，则不等式f(x)>e2x−2的解为___________.【答案】x>0【解析】构造函数g(x)=e−2x[f(x)+2]，则g(0)=1.由g'(x)=e−2x[f'(x)−2f(x)−4]>0可知g(x)在（−∞,+∞）内单调递增，从而有g(x)>1⇔x>0.故f(x)>e2x−2⇔x>0.4．【2018年甘肃预赛】已知函数f(x)=x3+sinx（x∈R），函数g(x)满足g(x)+g(2−x)=0（x∈R），若函数h(x)=f(x−1)−g(x)恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】易知函数f(x)=x3+sinx为奇函数，从而f(x−1)的图象关于(1,0)点对称．函数g(x)+g(2−x)=0，可知g(x)的图象也关于(1,0)点对称．由此h(x)的图象关于(1,0)点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于h(1)=f(0)−g(1)=0⇒x=1是h(x)的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于(1,0)点对称，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com和为2018，故所有这些零点之和为2019．5．【2018年四川预赛】设直线y=kx+b与曲线y=x3−x有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=2，则k的值为______.【答案】1【解析】曲线关于点(0,0)对称，且|AB|=|BC|=2，所以直线y=kx+b必过原点，从而b=0.设A(x,y)，则¿由此得x=❑√k+1,y=k❑√k+1，代入得(k+1)+k2(k+1)=4,即(k−1)(k2+2k+3)=0,解得k=1.故答案为：16．【2017年广西预赛】设函数f(x)在R上存在导数f'(x),对任意的x∈R有f(x)+f(−x)=x2,在(0,+∞)上f'(x)>x.若f(1+a)−f(1−a)≥2a,则实数a的范围是.【答案】a≥0【解析】提示:由题意得f'(x)>x,构造函数g(x)=f(x)−12x2,则g'(x)=f'(x)−x>0.从而g(x)在(0,+∞)上单调递增.由条件f(x)+f(−x)=x2得g(x)+g(−x)=0,则g(x)是奇函数.因为g(x)在R上单调递增,由f(1+a)−f(1−a)≥2a知g(1+a)−g(1−a)≥0,g(1+a)≥g(1−a)，所以1+a≥1−a解得a≥0.7．【2017年湖南预赛】设函数f(x)是定义在(−∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有2f(x)+xf'(x)>x2,则不等式(x+2017)2f(x+2017)−f(−1)>0的解集为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(−∞,−2018)【解析】提示:将不等式(x+2017)2f(x+2017)−f(−1)>0化为(x+2017)2f(x+2017)>(−1)2f(−1)，①构造F(x)=x2f(x),使得①式化为F(x+2017)>F(−1)，②因为F'(x)=2xf(x)+x2f'(x),由已知条件2f(x)+xf'(x)>x2，两边同乘以x,可得F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)<x3<0(因x∈(−∞,0)).所以,F(x)在(−∞,0)上是减函数,不等式②化为x+2017←...
