小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题20三角函数与解三角形第七缉1．【2017年辽宁预赛】如果对任意非负整数n,cos2nα←13都成立,求实数α.【答案】α=2kπ±23π,k∈Z.【解析】由已知,对任意非负整数n,cos2nα←13都成立,下面用数学归纳法先证明:对任意非负整数n,有cos2nα+12|≥(53)n|cosα+12∣.①当n=0时,①成立.假设对于n−1,①成立.于是有|cos2nα+12|=2|cos22n−1α−14|=2|cos2n−1α−12||cos2n−1α+12|≥2(13+12)(53)n−1|cosα+12|=(53)n|cosα+12|由于−1≤cos2nα←13,故|cos2nα+12|≤1.从而,0≤|cosα+12|≤(35)n,n∈N，由于limn→∞(35)n=0,两边取极限,故必有cosα=−12.因此,α=2kπ±23π,k∈Z.2．【2017年河南预赛】设−π2≤x≤π2,且方程cos2x−4acosx−a+2=0有两个不同的解,求a的取值范围.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】35<a≤1或a=12.【解析】由题意得:2cos2x−4acosx−a+1=0.令t=cosx,由−π2≤x≤π2知0≤t≤1,则问题转化为方程2t2−4at−a+1=0,在0≤t<1范围内有一个解.令f(t)=2t2−4at−a+1.①{Δ=(−4a)2−8(−a+1)>0,f(0)⋅f(1)≤0且f(1)≠0,得35<a≤1.②{Δ=0,0≤a<1,得a=12.故由①、②知a的取值范围为35<a≤1或a=12.3．【2017年湖北预赛】求实数a的取值范围,使不等式sin2θ−2❑√2acos(θ−π4)−❑√2asin(θ+π4)>−3−a2对θ∈[0,π2]恒成立.【答案】(−∞,1)∪(3,+∞).【解析】设x=sinθ+cosθ,θ∈[0,π2],则x∈[1,❑√2],sin2θ=x2−1,sin(θ+π4)=cos(θ−π4)=❑√22x,故原不等式可化为x2−2ax−2ax+2+a2>0,即(a−x)[a−(x+2x)]>0.①记f(x)=x+2x,可知f(x)在[1,❑√2]上单调递减,故[f(x)]max=f(1)=3.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com若1≤a≤3,则当x=1时,不等式①不成立,不符合题设条件.若a<1或a>3,则对一切x∈[1,❑√2],a−x与a−(x+2x)同号,可知不等式①恒成立,符合题意.因此,所求实数a的取值范围是(−∞,1)∪(3,+∞).4．【2017年湖北预赛】已知函数f(x)=|sinx|,x∈R.(1)证明:sin1≤f(x)+f(x+1)≤2cos12;(2)证明：对任意的正整数n,有f(n)n+f(n+1)n+1+⋯+f(3n−1)3n−1>sin12【答案】证明见解析【解析】(1)令g(x)=f(x)+f(x+1)=|sinx|+|sin(x+1)|,则g(x)为周期函数,且T=π是周期,故只需考虑x∈[0,π].当x∈[0,π−1]时,g(x)=sinx+sin(x+1)=2sin(x+12)cos12,又x+12∈[12,π−12],sin(x+12)∈[sin12,1],所以g(x)∈[2sin12cos12,2cos12]=[sin1,2cos12].当x∈[π−1,π]时，g(x)=sinx−sin(x+1)=−2sin12cos(x+12)，又x+12∈[π−12,π+12],cos(x+12)∈[−1,−cos12],所以g(x)∈[sin1,2sin12]⊂[sin1,2cos12]，综上所述，sin1≤f(x)+f(x+1)≤2cos12.(2)由(1)知,f(x)+f(x+1)≥sin1,所以小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comf(n)n+f(n+1)n+1+f(n+2)n+2+⋯+f(3n−1)3n−1¿[f(n)n+f(n+1)n+1]+[f(n+2)n+2+f(n+3)n+3]+⋯+[f(3n−2)3n−2+f(3n−1)3n−1]¿1n+1[f(n)+f(n+1)]+1n+3[f(n+2)+f(n+3)]+⋯+13n−1[f(3n−2)+f(3n−1)]⩾(1n+1+1n+3+⋯+13n−1)⋅s.又由柯西不等式得1n+1+1n+3+⋯+13n−1⩾n2(n+1)+(n+3)+⋯+(3n−1)=n212[(n+1)+(3n−1)]⋅n=12，故f(n)n+f(n+1)n+1+⋯+f(3n−1)3n−1>sin12.5．【2017年陕西预赛】设△ABC的内角A,B、C的对边分别为a,b,c,向量⃗m=(sinA,b+c),⃗n=(sinC−sinB,a−b),且存在实数λ,使⃗m=λ⃗n.(1)求角C的大小;(2)若a+b=kc,求实数k的取值范围.【答案】(1)C=π3；(2)¿.【解析】(1)由⃗m=λ⃗n,得{sinA=λ(sinC−sinB),b+c=λ(a−b).消去λ,得(a−b)sinA=(b+c)(sinC−sinB).由正弦定理,得(a−b)a=(b+c)(c−b),即a2+b2−c2=ab.所以cosC=a2+b2−c22ab=12.因...