小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题四平面向量的夹角平面向量的夹角公式(1)平面向量夹角公式的非坐标形式：cos<a，b>＝．<a，b>∈[0，π]．(2)平面向量夹角公式的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos<a，b>＝．<a，b>∈[0，π]．考点一平面向量的夹角问题【方法总结】求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步：由坐算或定算出向量的量；标运义计这两个数积第二步：分求出向量的模；别这两个第三步：根据公式cos＜a，b＞＝＝求解出向量角的余弦；这两个夹值第四步：根据向量角的范是两个夹围[0，π]及其角的余弦，求出向量的角．夹值这两个夹【例题选讲】[例1](1)(2016·北京)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为__________．答案解析因为cos<a，b>＝＝＝，所以a与b角的大小．夹为(2)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()A．B．C．D．答案B解析a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos<a，b>＝＝＝，所以向量a与b的夹角．为(3)已知|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．120°答案C解析设a与b的角夹为θ，由已知可得a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，即4a·b＝a2＋b2．因为|a|＝|b|，所以a·b＝a2，所以cosθ＝＝，θ＝60°．(4)(2019·全Ⅰ国)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A．B．C．D．答案B解析答案B解析方法一设a与b的角夹为θ，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cosθ－|b|2＝0，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选B．方法二如，令图OA＝a，OB＝b，则BA＝OA－OB＝a－b．因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即a与b的角，故夹为选B．(5)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－b|＝3|a|，则a与b的夹角为________．答案90°解析由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，得4a2＝b2，由|a－b|＝3|a|，得a2－2a·b＋2b2＝9a2，则a·b＝0，即a⊥b，∴a与b的角夹为90°．(6)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A．B．C．D．答案D解析设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2．由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以a、b的平为邻边行四形是矩形，且边|a|＝，向量设a＋b与a的角夹为θ，则cosθ＝＝＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝．(7)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，向量则a与a＋b的夹角为()A．B．C．D．π小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com答案B解析 |2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，∴4＋4a·b＋3＝7，∴a·b＝0，∴a⊥b．如所示，图a与a＋b的角夹为∠COA． tan∠COA＝＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的角夹为．(8)(2020·全Ⅲ国)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos<a，a＋b>等于()A．－B．－C．D．答案D解析 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos<a，a＋b>＝＝＝＝．(9)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．答案解析 a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9，b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cosβ＝＝＝．(10)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于()A．B．－C．D．－答案B解析向量记2a－b与a＋2b的角夹为θ，又(2a－b)2＝4×22＋32－4×2×3×cos＝13，(a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3×cos＝52，(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝8－18＋9＝－1，故cosθ＝＝－，即2a－b与a＋2b的角的余弦是－．夹值(11)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2BE＝BC，设向量AE，BD的夹角为θ，则cosθ＝________．答案－解析因为2BE＝BC，所以E为BC中点．正方形的设边长为2，则|AE|＝，|BD|＝2，AE·BD＝·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＋AD·AB＝×22－22＝－2，所以cosθ＝＝＝－．优解：因为2BE＝BC，所以E为BC中点．正方形的设边长为2，...