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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题18单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转一、凹函数、凸函数的几何特征xyOx1x2图象上任意弧段位于所在弦的下方的函数为凹函数y=f(x)xyOx1x2图象上任意弧段位于所在弦的上方的函数为凸函数y=f(x)xyy=h(x)y=g(x)O二、凹凸反转很多时候,我们需要证明f(x)>0,但不代表就要证明f(x)min>0,因为大多数情况下,f′(x)的零点是解不出来的.当然,导函数的零点如果解不出来,可以用设隐零点的方法,但是隐零点也不是万能的方法,如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.如要证明f(x)>0,可把f(x)拆分成两个函数g(x),h(x),放在不等式的两边,即要证g(x)>h(x),只要证明了g(x)min>h(x)max即可,如上右图,这个命题显然更强,注意反过来不一定成立.很明显,g(x)是凹函数,h(x)是凸函数,因为这两个函数的凹凸性刚好相反,所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的,两种方法互为补充.凹凸反转关键是如何分离,常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成,当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法),要考虑指、对分离(对数单身狗,指数找基友,指对在一起,常常要分手),即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开,构造两个单峰函数,然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.三、六大经典超越函数的图象和性质1.x与ex的组合函数的图象与性质函数f(x)=xexf(x)=f(x)=图象xy-1e-1Oxye1Oxy1e1O定义域R(-∞,0)(0,+∞)R值域(-∞,0)[(e,+∞)(-∞,]单调性在(-∞,-1)上递减在(-1,+∞)上递增在(-∞,0),(0,1)上递减在(1,+∞)上递增在(-∞,1)上递增在(1,+∞)上递减最值f(x)min=f(-1)=-当x>0时,f(x)min=f(1)=f(x)max=f(1)=小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2.x与lnx的组合函数的图象与性质函数f(x)=xlnxf(x)=f(x)=图象xyOxyeOxyee1O定义域(0,+∞)(0,+∞)(0,1)(1,+∞)值域(-∞,)(-∞,0)[e,+∞)单调性在(0,)上递减在(,+∞)上递增在(0,e)上递增在(e,+∞)上递减在(0,1),(1,e)上递减在(e,+∞)上递增最值f(x)min=f()=-f(x)max=f(e)=当x>0时,f(x)min=f(e)=e【例题选讲】[例1](2014·全国Ⅰ)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.解析(1)f′(x)=aex+(x>0),由于切线y=e(x-1)+2的斜率为e,象点图过(1,2),所以即解得(2)由(1)知f(x)=exlnx+(x>0),而从f(x)>1等价于xlnx>xe-x-.造函构数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,所以当x∈时,g′(x)<0,当x∈,时g′(x)>0,故g(x)在上,在上增,单调递减单调递而从g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.造函构数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0;故h(x)在(0,1)上增,在单调递(1,+∞)上,而单调递减从h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.上,综当x>0,时g(x)>h(x),即f(x)>1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comxyhx()=xex2egx()=x∙lnx()Oxyhx()=xex2egx()=e∙x∙1+lnx()()O(例1图)(例2图)[例2]已知函数f(x)=(m∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m=0时,证明:∀x>0,ex2(1+lnx)+>f(x)-xf(1).解析(1)函数f(x)的定域义为R,f′(x)====-,令f′(x)=0,解得x1=1,x2=1-m.①当m<0时,1<1-m.故x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,函数f(x);单调递减x∈(1,1-m)时,f′(x)>0,函数f(x)增;单调递x∈(1-m,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x).单调递减②当m=0时,1=1-m,f′(x)≤0恒成立,函数f(x)在R上.单调递减③当m>0,时1>1-m,故x∈(-∞,1-m)时,f′(x)<0,函数f(x);单调递减x∈(1-m,1)时,f′(x)>0,函数f(x)增;单调递x∈(1,+∞)时...

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