小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题18单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转一、凹函数、凸函数的几何特征xyOx1x2图象上任意弧段位于所在弦的下方的函数为凹函数ｙ＝f(x)xyOx1x2图象上任意弧段位于所在弦的上方的函数为凸函数ｙ＝f(x)xyy=h(x)y=g(x)O二、凹凸反转很多时候，我们需要证明f(x)＞0，但不代表就要证明f(x)min＞0，因为大多数情况下，f′(x)的零点是解不出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明f(x)＞0，可把f(x)拆分成两个函数g(x)，h(x)，放在不等式的两边，即要证g(x)＞h(x)，只要证明了g(x)min＞h(x)max即可，如上右图，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显，g(x)是凹函数，h(x)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转．凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充．凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值．三、六大经典超越函数的图象和性质1．x与ex的组合函数的图象与性质函数f(x)＝xexf(x)＝f(x)＝图象xy－１e－1Oxye1Oxy１e1O定义域R(－∞，0)(0，＋∞)R值域(－∞，0)[(e，＋∞)(－∞，]单调性在(－∞，－1)上递减在(－1，＋∞)上递增在(－∞，0)，(0，1)上递减在(1，＋∞)上递增在(－∞，1)上递增在(1，＋∞)上递减最值f(x)min＝f(－1)＝－当x＞0时，f(x)min＝f(1)＝f(x)max＝f(1)＝小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．x与lnx的组合函数的图象与性质函数f(x)＝xlnxf(x)＝f(x)＝图象xyOxyeOxyee1O定义域(0，＋∞)(0，＋∞)(0，1)(1，＋∞)值域(－∞，)(－∞，0)[e，＋∞)单调性在(0，)上递减在(，＋∞)上递增在(0，e)上递增在(e，＋∞)上递减在(0，1)，(1，e)上递减在(e，＋∞)上递增最值f(x)min＝f()＝－f(x)max＝f(e)＝当x＞0时，f(x)min＝f(e)＝e【例题选讲】[例1](2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2．(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1．解析(1)f′(x)＝aex＋(x＞0)，由于切线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，象点图过(1，2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)＝exlnx＋(x＞0)，而从f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－．造函构数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx，所以当x∈时，g′(x)＜0，当x∈，时g′(x)＞0，故g(x)在上，在上增，单调递减单调递而从g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－．造函构数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0；故h(x)在(0，1)上增，在单调递(1，＋∞)上，而单调递减从h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－．上，综当x＞0，时g(x)＞h(x)，即f(x)＞1．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comxyhx()=xex2egx()=x∙lnx()Oxyhx()=xex2egx()=e∙x∙1+lnx()()O(例1图)(例2图)[例2]已知函数f(x)＝(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m＝0时，证明：∀x＞0，ex2(1＋lnx)＋＞f(x)－xf(1)．解析(1)函数f(x)的定域义为R，f′(x)＝＝＝＝－，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝1－m．①当m＜0时，1＜1－m．故x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)；单调递减x∈(1，1－m)时，f′(x)＞0，函数f(x)增；单调递x∈(1－m，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)．单调递减②当m＝0时，1＝1－m，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上．单调递减③当m＞0，时1＞1－m，故x∈(－∞，1－m)时，f′(x)＜0，函数f(x)；单调递减x∈(1－m，1)时，f′(x)＞0，函数f(x)增；单调递x∈(1，＋∞)时...