第1页|共5页2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1.设集合{31,},{32,}AxxkkZBxxkkZ==+Î==+Î∣∣，U为整数集，()AB=UUð（）A.{|3,}xxkk=ÎZB.{31,}xxkkZ=-Î∣C.{32,}xxkkZ=-Î∣D.Æ2.若复数i1i2,Raaa+-=Î，则=a（）A.-1B.0·C.1D.23.执行下面的程序框遇，输出的B=（）A.21B.34C.55D.894.向量1,2abc===rrr，且0abc++=rrrr，则cos,acbcá--ñ=rrrr（）A.15-B.25-C.25D.455.已知正项等比数列na中，11,naS=为na前n项和，5354SS=-，则4S=（）A.7B.9C.15D.306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1的第2页|共5页7.“22sinsin1ab+=”是“sincos0ab+=”（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线22221(0,0)xyabab-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1xy-+-=交于A，B两点，则||AB=（）A15B.55C.255D.4559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务选择种数为（）A.120B.60C.40D.3010.已知fx为函数πcos26yxæö=+ç÷èø向左平移π6个单位所得函数，则yfx=与1122yx=-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.411.在四棱锥PABCD-中，底面ABCD为正方形，4,3,45ABPCPDPCA===Ð=°，则PBCV的面积为（）A.22B.32C.42D.5212.己知椭圆22196xy+=，12,FF为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，123cos5FPFÐ=，则||PO=（）A.25B.302C.35D.352二、填空题13.若2π(1)sin2yxaxxæö=-+++ç÷èø为偶函数，则=a________．14.设x，y满足约束条件2333231xyxyxy-+£ìï-£íï+³î，设32zxy=+，则z的最大值为____________．15.在正方体1111ABCDABCD-中，E，F分别为CD，11AB的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条的.的第3页|共5页棱的交点总数为____________．16.在ABCV中，2AB=，60,6BACBCÐ=°=，D为BC上一点，AD为BACÐ的平分线，则AD=_________．三、解答题17.已知数列na中，21a=，设nS为na前n项和，2nnSna=．（1）求na的通项公式；（2）求数列12nna+ìüíýîþ的前n项和nT．18.在三棱柱111ABCABC-中，12AA=，1AC^底面ABC，90ACBÐ=°，1A到平面11BCCB的距离为1．（1）求证：1ACAC=；（2）若直线1AA与1BB距离为2，求1AB与平面11BCCB所成角的正弦值．19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：m<m³第4页|共5页对照组实验组（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：0k0.100.050.01020Pkk³2.7063.8416.63520.已知直线210xy-+=与抛物线2:2(0)Cypxp=>交于,AB两点，且||415AB=．（1）求p；（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，0MFNF×=uuuruuur，求MNFV面积的最小值．21.已知3sinπ(),0,cos2xfxaxxxæö=-Îç÷èø（1）若8a=，讨论()fx的单调性；（2）若()sin2fxx<恒成立，求a的取值范围．四、选做题22.已知(2,1)P，直线2cos:1sinxtlytaa=+ìí=+î（t为参数），a为l的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，||||4PAPB×=．（1）求a的值；（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．23.已知()2,0fxxaaa=-->．（1）求不等式fxx<解集；（2）若曲线yfx=与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a．的第5页|共5页