专题11三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！.................................................................................................................................................2模型1.等直内接等直模型...............................................................................................................................2模型2.等直+高分线模型.................................................................................................................................8...............................................................................................................................................15模型1.等直内接等直模型等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④；⑤；⑥。（注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）证明： 等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点同理可得：，， AB=AC，∴AE=FB；又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（）A．18B．C．9D．【答案】C【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．【详解】解：连接，如图： ，，点D是中点，∴∴，∴又 ∴故选：C例2．（2024·天津·模拟预测）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②M为中点时，；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形的面积相等求出，随着点E的变化而变化，不一定等于，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得，，然后解答即可．【详解】解： ，∴是等腰直角三角形， 点P为的中点，∴， 是直角，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴是等腰三角形，故①正确；∴，故④正确； 随着点E的变化而变化，∴不一定等于，故③错误； M为中点，，∴，∴，故②正确；故①②④正确，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出是解决此题的关键．例3．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠MPN为直角，使点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论：①EF＝OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；⑤OG•BD...