小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题14圆的综合性问题【思维导图】◎突破一：圆与三角形的综合问题例．（2021·江苏南通·一模）(1)如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．(2)如图2，按以下步骤画图：①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；③连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．【答案】(1)证明见解析(2)①作图见解析，②作图见解析，③小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）根据SAS证明△ACB≌△DEC即可．（2）证明△COD是等边三角形，即可解决问题．(1)证明：如图所示： ∠ACB＝∠1+∠ACE，∠DCE＝∠2+∠ACE，∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A＝∠D；(2)解：如图2中，连接AC，BD．由作图可知，AC＝OA＝OC＝BD＝OD＝OB，∴△AOC，△BOD都是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴S△COD＝×22＝．【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．专训1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．(1)若的半径为5，求的长；(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O作，垂足为小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comH，根据题意得，，即四边形是矩形，所以，根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OD，根据HL得，即可得，所以，即可得．(1)解：如图所示，连接． ，∴， ，∴， 为的切线，C为切点，∴，∴， ，垂足为F，∴，∴，∴，∴，∴，∴． ，∴是等边三角形，∴，∴． 的半径为5，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴， 是的直径，∴，∴在中，．(2)，证明如下证明：方法一：如图所示， ，∴，∴． ，∴为等边三角形，∴． ，∴．∴在中，，∴，即；方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴， ，∴四边形是矩形，∴， 是等边三角形，∴， ，∴， ，∴，∴，∴，∴CE=OD， ，在和中，∴（HL），∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专训2．（2022·河北·廊坊市第四中学二模）如图，已知为不完整的直径，为弦且，，点M、N为上的点，连接，点N从点A开始沿优弧运动，当点M与点B重合时停止．已知，以为直径向内作半圆P．(1)求的半径；(2)当点N与点A重合时，求半圆P与所围成的弓形的面积；(3)①点P的运动路径长是___________；②当半圆P与相切时，求与夹角的正切值．【答案】(1)4(2)(3)①；②【分析】（1）根据为的直径，可得∠ABC=90°，再由锐角三角函数，即可求解；（2）设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，可证得△OAM是等边三角形，从而得到∠OAM=60°，AP=2，进而得到△APQ为等边三角形，再由半圆P与所围成的弓形的面积等于，即可求解；（3）①由BC=4，，可得点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，求出OP，即可求解；②设半圆P与相切于点D，连接P...