小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题21.2根的判别式和根与系数的关系【典例1】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m2﹣）x+m23﹣m+3＝0有两个实数根x1，x2．（1）若x12+x22＝2，求m的值；（2）令T¿mx11−x1+mx21−x2，求T的取值范围．【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）22﹣x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解： 关于x的方程x2+2（m2﹣）x+m23﹣m+3＝0有两个实数根，∴Δ＝4（m2﹣）24﹣（m23﹣m+3）≥0，解得m≤1， m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m≤1， 方程x2+2（m2﹣）x+m23﹣m+3＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（m2﹣）＝42﹣m，x1•x2＝m23﹣m+3．（1） x12+x22＝2，∴（x1+x2）22﹣x1x2＝2，∴4（m2﹣）22﹣（m23﹣m+3）＝2，整理得m25﹣m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去），∴m的值为1；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）T¿mx11−x1+mx21−x2¿mx1(1−x2)+mx2(1−x1)(1−x1)(1−x2)¿m[(x1+x2)−2x1x2]1−(x1+x2)+x1x2¿m(4−2m−2m2+6m−6)1−4+2m+m2−3m+3¿−2m(m−1)2m2−m＝22﹣m． 当m＝0时，方程为x24﹣x+3＝0，解得x＝1或x＝3．此时T没有意义．当m≠0时，﹣1≤m≤1，所以0≤22﹣m≤4．即0≤T≤4且T≠2．1．（2021秋•南海区期末）已知❑√5+12是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（）A．❑√5−12B．3−❑√52C．1−❑√52D．❑√5−32【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可．【解题过程】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解： ❑√5+12是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为a，∴a+❑√5+12=¿1，解得：a＝1−❑√5+12，即a¿1−❑√52．故选：C．2．（2021秋•莲池区期末）关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【思路点拨】分别讨论m＝0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1＝0根的情况，进而填空．【解题过程】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝14﹣m（1﹣m）＝14﹣m+4m2＝（2m1﹣）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，当x＝﹣1时，m1﹣﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；故选：C．3．（2020•江汉区校级自主招生）对于方程x22|﹣x|+2＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1B．❑√2C．❑√3D．2【思路点拨】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解题过程】解：原方程可化为x22|﹣x|+2﹣m＝0，解得|x|＝1±❑√m−1， 1−❑√m−1＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0， 1+❑√m−1＞0，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴1−❑√m−1=¿0，解得m＝2．故选：D．4．（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α2﹣＝0，2β25β2﹣﹣＝0，且αβ≠1，且1β2+αβ−52α的值为（）A．254B．−254C．−174D．334【思路点拨】由2α2+5α2﹣＝0，2β25β2﹣﹣＝0，即2（1β）2+5×1β−2＝0，且αβ≠1，可得α、1β是方程2x2+5x2﹣＝0的两实根，由根与系数关系得α+1β=−52，α•1β=−1，再把1β2+αβ−52α变形−52（α+1β）+α•1β，然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解： 实数α，β满足2α2+5α2﹣＝0，2β25β2﹣﹣＝0，且αβ≠1，∴2（1β）2+5×1β−2＝0，∴α、1β是方程2x2+5x2﹣＝0...