小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题06海伦—秦九昭公式【例题讲解】阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：……①（其中、、为三角形的三边长，为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：……②（其中）（1）若已知三角形的三边长分别为，，，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．【详解】解：（1）由公式得①得由②得，故（2）可以，过程如下：，【综合解答】1．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（其中），我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积．【答案】【分析】根据题意可直接代入公式进行求解即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键．2．我国南宋时期数学家秦九昭及古希腊的几何学家海伦对于问题：“已知三角形的三边，如何求三角形的面积”进行了研究，并得到了海伦—秦九昭公式：如果一个三角形的三条边分别为，记，那么三角形的面积为，请用此公式求解：在中，，，，求的面积.【答案】【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；【详解】解：，，,,.【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p=（a+b+c），则有下列面积公式：S=（海伦公式）；S=（秦九韶公式）．(1)一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先求出，再由海伦公式计算即可；（2）先求出，，，再由秦九韶公式计算即可．【详解】（1） 一个三角形的三边长依次为3，5，6，∴，由海伦公式得：；（2） ，，，∴，，，由秦九韶公式得：．【点睛】本题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式；熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．4．材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，那么三角形的面积为，这一公式称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式，被称之为秦九韶公式．(1)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面积．(2)在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为____________．【答案】(1)我同意这种说法．(2)【分析】（1）分别代入公式求解，答案一样就是一致的；（2）利用角平分线的性质与判定定理得点O到△ABC三边的距离相等，设OD=x，再利用面积相等即可求解．（1）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解：我同意这种说法．验证：利用海伦公式：p=×（5+6+7）=9．△ABC的面积的面积为：；利用秦九韶公式：△ABC的面积的面积为． ，∴海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．且；（2）解： ∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴点O分别到AB、BC及BC、AC的距离相等，∴点O到AB、AC的距离相等，∴O在∠BAC的平分线上，∴O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，∴△ABC的面积等于：×（5+6+7）x=6，解得：x=．所以OD的长为：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的应用，角平分线的判定定理与性质定理，解题的关键是明白海伦公式与秦九韶...