13.4最短路径问题一、单选题1．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．【详解】如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H， B（0，2），∴B′（0，-2）， C（5，3），∴CH=B′H=5，∴∠CB'H=45°，∴∠BB'A'=45°，∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，∴OB'=OA'=2，则此时A'坐标为（2，0）．m的值为2．故选：C．【点评】此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键．2．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．C．D．【答案】A【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；【详解】如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， △ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值， △ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°， BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°， PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，故选：A．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；【详解】如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， △ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值， △ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°， BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°， PB=PC，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ACP=30°，故选：A．【点评】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．4．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（）A．4.5B．4.6C．4.7D．4.8【答案】D【分析】根据最短路径问题得：当BP⊥AC时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案.【详解】由题意得：当BP⊥AC时，的值最小， ,∴,解得BP=，故选：D.【点评】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当BP⊥AC时，的值最小是解题的关键.5．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．4B．C．5D．6【答案】C【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．【详解】如图， AD是∠BAC的平分线，AB=AC，∴点B关于AD的对称点为点C，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN， AB＝10，S△ABC＝25，∴×10•CN＝25，解得CN＝5，即BM＋MN的最小值是5．故选：C．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，...