专题06特殊平行四边形的两种考法全攻略类型一、最值问题例1．(将军饮马)如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为()A．2B．C．1D．0.5【答案】D【详解】解：连接交于P，连接，由菱形的对角线互相垂直平分，可得关于对称，则，∴，，即就是的最小值， ，∴是等边三角形， E是边的中点∴，∴(等腰三角形三线合一的性质)在中，，∴，∴．∴当时最小 ∴故选：D例2．(中点模型)如图，矩形，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为()A．B．2C．D．【答案】A【详解】如图，取的中点，连接，，矩形，，，，，点是的中点，，，，点是的中点，，在中，，当点在上时，，的最大值为，故选：A．例3．(截补模型)如图，在中，，，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为______．【答案】【详解】解：过B作，在上截取，连接， ，，∴，， ，∴，∴，当A、D、F在同一直线上时，的最小值为的长，延长到G，使，连接，∴，，∴四边形为平行四边形， ，，∴四边形为正方形，且边长为2，∴，，∴，即的最小值为，故答案为：．例4．(瓜豆模型)如图，平面内三点，，，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．【答案】【详解】解：如图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，则，∴是等腰直角三角形，，∴(舍负)，∴当的值最大时，的值最大， ，，，∴，(A、C、M三点共线时取等号)∴的最大值为，∴的最大值为．故答案为：．【变式训练1】如图，矩形中，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是___________．【答案】【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在处，，当点F与点E重合时，点P在处，，∴且．当点F在上除点C、E的位置处时，有．由中位线定理可知：且．∴点P的运动轨迹是线段，∴当时，取得最小值． 矩形中，，为的中点，∴、、为等腰直角三角形，．∴，．∴．∴．∴，即，∴的最小值为的长．在中，，∴，∴的最小值是．故答案是：．【变式训练2】如图，已知线段，点C在线段上，且是边长为4的等边三角形，以为边的右侧作矩形，连接，点M是的中点，连接，则线段的最小值为_______________．【答案】6【详解】 为等边三角形，∴，， 四边形是矩形，点M是的中点，∴DM＝CM，在与中，，∴，∴， ，∴，即直线的位置是固定的，∴当时，有最小值，此时．【变式训练3】如图，在正方形中，边长，点Q是边的中点，点P是线段上的动点，则的最小值为_____．【答案】【详解】解：连接，交于点P，连接、． 四边形是正方形，∴点B与点D关于对称，∴，∴． ，点Q是边的中点，∴，，在中，，∴的最小值为．故答案为:．【变式训练4】如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为______【答案】【详解】解：连接，交于点，过作，且，连接．四边形是平行四边形，，，即的最小值为，四边形是菱形，，，又，在中，，，，在中，，，即的最小值为，故答案为：．【变式训练5】如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为_____．【答案】【详解】解：连接， ，且，，∴， ，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴当时，的值最小，此时，的面积，∴，∴的最小值为；故答案为：．类型二、动点问题例1．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是方程的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，的面积为S．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式；(3)当是以为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【详解】(1) 正方形的边长是方程的根，解方程，得，∴正方形的边长为4，∴，，∴点C的坐标为；(2) E为的中点，∴由题意得：，分两种情况：①时，如图由题意得：，，∴，；②时，如图由题意得：，，∴，，，，∴，∴S关于t的函数关系式为(3)分两种情况：①时，如图：...