专题05平行四边形的四种几何综合问题类型一、折叠问题例．如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为()A．5B．7C．D．【答案】A【详解】解：如图：连接，作， 四边形是平行四边形，∴，∴且，∴，∴； M是中点，∴，∴，∴； 折叠，∴，∴当三点共线时，的长度最小，∴此时，故选：A．例2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为()A．3B．C．D．【答案】C【详解】解：延长交于点H， 恰好垂直于，且四边形是平行四边形，∴也垂直于，由折叠的性质得，，，，∴，∴，，在中，，，∴，，∴，由折叠的性质得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故选：C．【变式训练1】如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．【答案】【详解】解：由折叠知：，，， 四边形是平行四边形，∴，∴∠，∴，∴，过点作，垂足为F，∴， ，∴，∴，中，，∴， ，∴，∴，∴， ,∴，∴，∴，故答案为：．【变式训练2】如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．【答案】7【详解】 向上翻折，点A正好落在边上，∴，， 的周长为6，的周长为20，∴，，∴，∴ ，，∴， 四边形是平行四边形，∴，即，∴．故答案为：7．【变式训练3】如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为____________【答案】45【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、． ，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，∴，，， ，∴， D、T关于对称，∴，，∴， ，∴B、A、T共线，∴， ，，∴四边形EGCD是平行四边形，∴，∴， ，∴，∴，则的最小值为45．故答案为：45．【变式训练4】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．【答案】【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH， AB=6，5BE=AE，∴AE=5，BE=，由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF， 四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，∴FH=BM=6，在Rt△GEN中，根据勾股定理，得，∴，解得GN=±7(负值舍去)，∴GN=7，设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，在Rt△GFH中，根据勾股定理，得，∴，解得x=，∴AF=AM+FM=6+=．∴AF长度为．故答案为：．类型二、平行四边形中的最值问题例．(将军饮马模型)如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．【答案】【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长， 点A与点F关于直线对称，∴，，则，∴是等边三角形， 在中，，∴，过点E作直线的垂线，垂足为点G， ，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值是．故答案为：．【变式训练1】如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．【答案】9.6【详解】设交于点，过点作于点，如图所示，在四边形中，，， ，∴， ，∴,在中，， ，∴，当点与点，重合时，最小，∴的最小值为．故答案为：．【变式训练2】如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．【答案】3【详解】解：如图，过作交的延长线于点， 四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴， ，∴当三点共线时，线段的和最小， ，，∴，即：的最小值等于3；故答案为：3．【变式训练3】如图，，，，，，射线交边于点，点为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，则最小值为______．【答案】【详解】解：如图，延长到，使得，连接，过点作于点．四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，在中，，，，，．...