专题02平方根与立方根的六种考法全攻略类型一、平方根的非负性例1．已知，则的平方根为____________．【答案】【详解】解：，，，，．故的平方根为．故答案为：．例2．若，则的值为______．【答案】【详解】解： ，，即，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：．【变式训练1】当时，化简的结果为_________________．【答案】2【详解】解：，又，原式．故答案为：2．【变式训练2】若实数x，y满足|x3|﹣＋＝0，则(x＋y)2的平方根为_______．【答案】±4【详解】解：根据题意得x3﹣＝0，y1﹣＝0，解得：x＝3，y＝1，则(x+y)2＝(3+1)2＝16，所以(x+y)2的平方根为±4．故填：±4．【变式训练3】已知与互为相反数，求的平方根．【答案】的平方根为±3．【详解】 与互为相反数，∴+=0，∴a=27，b=36，∴=3+6=9，∴的平方根为±3．【变式训练4】若，其中a，b均为整数，则______．【答案】0，2，4【详解】解： ，其中a，b均为整数，又 ，①当，时，∴，∴②当，时，∴或，∴或③当，时，∴或，∴或故答案为：4或2或0类型二、利用数轴化简根式例．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是()A．B．C．D．0【答案】A【详解】解：观察数轴可知：，，，，，．故选A．【变式训练1】已知：如图，化简代数式______【答案】【详解】解：由数轴得，∴，，∴，故答案为：．【变式训练2】(1)填空：__________；__________；(2)猜想：__________；(3)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：．【答案】(1)5；5；(2)；(3)【详解】解：(1)；；故答案为：5；5；(2)当时，；当时，；∴，故答案为：；(3)由数轴得：，且，∴，，∴．【变式训练3】若实数、、依次在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【答案】【详解】解：根据题意得：，且，∴，，∴， ∴，∴．【变式训练4】已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：．【答案】【详解】解：由数轴可知，a<b<0<c、，∴a+b<0，b+c>0，c−a>0，∴．类型三、探究性规律问题例1．观察下列有规律的一组等式：，即；，即．(1)猜想：______，______．(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含(为正整数)的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性．【答案】(1)(2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，，验证见解析【详解】(1)解：由给定的等式猜想得：；故答案为：；(2)由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，用一个含(为正整数)的式子可表示为：；理由如下：．例2．(1)已知,，，则____；(2)已知,，，则____；(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；(4)如果，则___，____．【答案】(1)300；(2)0.04；(3)左(或右)，1；(4)10a，【解析】解：(1)已知，，，则300；(2)已知，，，则0.04；(3)从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向左(或右)移动1位；(4)如果，则10a，，故答案为：(1)300；(2)0.04；(3)左(或右)；1；(4)10a；．【变式训练1】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：a…0.04440040000……x2yz…(1)表格中的三个值分别为：x＝；y＝；z＝；(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n(n为整数)时，＝；(3)利用这一规律，解决下面的问题：已知，则①≈；②≈．【答案】(1)(2)(3)【详解】(1)解：根据算术平方根定义可得：．故答案为．(2)解：当(n为整数)时，．故答案为．(3)解：若，则①；②．故答案为：．【变式训练2】(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：a0.00360.36363600____________________________________________(2)根据你发现的规律填空：①已知：2.775，8.775.则___________，___________；②已知：5.385，若53.85.则x=___________．(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.【答案】(1)0.060.6660(2)87.750.027752900(3)被开方数小数点每向右(左)移动两位，则算术平方根的小数点向相同...