小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第6节正弦定理和余弦定理考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C＝＝＝2R常见变形cosA＝；cosB＝；cosC＝(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.2.(2021·北京西城区一模)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，则c＝()A.B.C.6D.5答案B解析因为sinA＝6sinB，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝62＋12－2×1×6×，解得c＝.3.(2022·全国百校大联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为，则C的大小是(小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com)A.45°B.60°C.60°或120°D.45°或135°答案D解析根据题意，得ab＝2，则×2×sinC＝，解得C＝45°或C＝135°.4.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则tanB＝()A.B.2C.4D.8答案C解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，所以tan∠ABD＝＝＝，所以tan∠ABC＝＝4.5.(易错题)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定答案C解析由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.6.(易错题)在△ABC中，角A，B，C，满足sinAcosC－sinBcosC＝0，则三角形的形状为________.答案直角三角形或等腰三角形解析由已知得cosC(sinA－sinB)＝0，所以cosC＝0或sinA＝sinB，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.考点一利用正、余弦定理解三角形例1(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.(1)证明因为BDsin∠ABC＝asinC，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b>0，所以BD＝b.(2)解法一如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，因为AD＝2DC，...