学科网（北京）股份有限公司1专题04指数函数与对数函数考点一：指数1．（2023春·福建）已知24m，28n，则2mn的值为（）A．4B．8C．16D．32【答案】D【详解】因为24m，28n，所以2248322mnmn.故选：D2．（2022春·天津）已知23m，25n，则2mn的值为（）A．53B．2C．8D．15【答案】D【详解】2223515mnmn.故选：D考点二：指数函数的图象和性质1．（2023·北京）已知函数21,022,0xxfxxxx，则fx的最小值是（）A．2B．1C．－2D．－1【答案】D【详解】当0x时，011122xfx，0x，fx有最小值1；当0x时，22211fxxxx，1x，fx有最小值-1；所以fx的最小值是-1.故选：D2．（2023·河北）已知函数12()22xxfxa．若函数()fx的最大值为1，则实数a（）A．78B．78C．98D．98【答案】B【详解】2()222xxfxa，令0,2xt，学科网（北京）股份有限公司2则22112248yttata，当1,24tx时，max118ya，解得78a=.故选：B3．（2023·河北）已知函数12()22xxfxa．关于函数()fx的单调性，下列判断正确的是（）A．()fx在,2上单调递增B．()fx在,2上单调递减C．()fx在1,4上单调递增D．()fx在1,4上单调递减【答案】A【详解】令2(0)xtt，函数12()22xxfxa可化为为22(0)yttat，因为函数22(0)yttat开口向上，对称轴为14t，即2x.当104t时，函数22(0)yttat单调递增；当14t时，函数22(0)yttat单调递减，又因为2xy在R上单调递减，由复合函数的单调性可得，函数()fx在(,2)上单调递增.故选：A.4．（2023·河北）已知函数1222xxfxa．若函数fx有两个零点1x、2x，给出下列不等式：①124xx；②120fxx；③121132fxx；④1220fxx．其中恒成立的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】12222222xxxxafxa，令0fx，则22220xxa，令20xt，可得220tta，令22gttta，则函数gt有两个不同的正零点，所以，Δ18010400aga，解得108a，由题意可知，12x、22x是关于t的二次方程220tta的两根，由韦达定理可得121212220,216xxxxa，所以，12412216xx，所以，124xx，可得124xx，①对；学科网（北京）股份有限公司3由韦达定理可得1222xxa，则12122,08xxa，所以，12122221222220222xxxxaaaafxxa，②对；121212121221121132321212222282xxxxxxxxxxafxxaa212,032a，③对；121212212252212222228810xxxxxxfxxaaaaaaa，④对.故选：D.5．（2023春·浙江）函数33()|2||2|xxfxxx的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为33()|2||2|xxfxxx定义域为R，且3333()|2||2|)|2|(|2|xxxxffxxxxxx，所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误；当x趋向正无穷时，显然33()|2||2|xxfxxx的分子增长快于分母增长，y趋向正无穷，故A正确B错误.故选：A6．（2023春·湖南）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为10,00.11,0.116tattyt学科网（北京）股份有限公司4（a为常数）.据测定，当室内每...