2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件、互斥，那么．·如果事件、相互独立，那么．·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高．·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则A．B．C．D．2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A．2B．3C．5D．63．设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为A．5B．8C．24D．295．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为A．B．C．D．6．已知，，，则的大小关系为A．B．C．D．7．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则A．B．C．D．8．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．是虚数单位，则的值为_____________．10．的展开式中的常数项为_____________．11．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．设，直线和圆（为参数）相切，则的值为_____________．13．设，则的最小值为_____________．14．在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．16．（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．17．（本小题满分13分）如图，平面，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．18．（本小题满分13分）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．19．（本小题满分14分）设是等差数列，是等比数列．已知．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中．（i）求数列的通项公式；（ii）求．20．（本小题满分14分）设函数为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．C8．C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．9．10．11．12．13．14．三．解答题15．本小题主要考查同角三角函数的基本关...