宜昌市部分省级示范高中2025春季学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin495=o（）A．22B．12C．12-D．22-2．若全集UR=，集合23Axx=-<<，{|31}xBx=>，则图中阴影部分表示的集合为（）A．2xx<-B．20xx-<<C．03xx<<D．23xx-<<3．已知12log4a=，2log5b=，0.52c-=，则实数a，b，c的大小关系是（）A．bac>>B．bca>>C．cba>>D．cab>>4．在ABCD中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosbAc=，则ABCD的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5．下列各式的值为12的是（）A．sin37.5cos7.5cos37.5cos97.5-ooooB．22tan22.51tan22.5°°-C．22cos203sin50--ooD．44cossin88pp-6．如图，在四边形ABCD中，2DCAB=uuuruuur，2BEEC=uuuruuur，设DCa=uuurr，DAb=uuurr，则DEuuur等于（）A．5162ab+rrB．2132ab+rrC．5163ab+rrD．2133ab+rr7．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（）A．2()sinfxxx=-B．2()ln2xfxx-=+C．()2xxeefx-+=D．21()21xxfx-=+8．函数()3sin3cos(0)fxxxwww=->，若()fx在(,2)pp上无零点，则w的取值范围是（）A．12(0,][,)63È+¥B．112(0,][,]633ÈC．12(0,][,1]63ÈD．12(,][1,)63È+¥二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量(1,2)a=r，(,3)bl=r，则下列结论正确的是（）A．若ar，br可以作为基底，则32l¹B．若||2ab-=rr，则0l=C．若br在ar上的投影向量为12ar，则72l=-D．若ar与br的夹角为4p，则1l=-或910．函数()sin()(0,||,0)2fxAxApwjwj=+><>的部分图象如图，()fx图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在()fx图象上，点M、N关于点C对称，则下列正确的是（）A．函数()fx的最小正周期是2pB．函数()fx的图象关于点5(,0)6p对称C．函数()fx在(,)36pp--上单调递增D．函数()fx的图象向右平移6p后，得到函数()gx的图象，则()gx为偶函数11．设[]x表示不超过x的最大整数，如：[1.2]1=，[1.2]2-=-，[]yx=又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按取整函数进行计费，以下关于取整函数的描述正确的是（）A．xR"Î，[2]2[]xx=B．x"，yRÎ，若[][]xy=，则1xy->-C．xR"Î，1[][][2]2xxx++=D．不等式22[][]30xx--…的解集为{|0xx<或2}x³三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数,3()(1),3xexfxfxxì<=í-³î，则(4)f的值为_____．13．在ABCD中，3AB=，2BC=，M，N分别为BC，AM的中点，则AMBN×uuuuruuur的值为．14．记ABCD的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2，bacac=>，点D在边AC上，若2ADDC=，BDb=，则cosABCÐ的值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量ar，br满足||2a=r，||3b=r，且ar与br的夹角为6p．（1）若()()ababl+^+rrrr，求实数l的值；（2）求ar与2ab-rr的夹角的余弦值．16．（15分）（1）已知a，b均为锐角且5cos()13ab+=，4sin5a=，求sinb的值；（2）已知sincos2sinqqa+=，2sincossinqqb=，求cos2cos2ab的值．17．（15分）在ABCD中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3(sincos)3baCC=+．（1）求角A；（2）若6c=，BC边上的中线13AD=，求ABCD的面积及BC边上的高．18．（17分）已知(3cos,cos)axx=rww，(sin,cos)bxx=rww，函数1()()(0)2fxbabw=×->rrr，的最小正周期为p．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）当[0,]2xÎp时，求()fx的最值及取到最值时x的值；（3）若函数()()gxfxm=-在[0,]2p上有两个不同的零点1x，2x，求实数m的取值范围，并求12tan()xx+的值．19．（17分）意大利著名画家、数学家、物理学家达×芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为()eexxfxab-=+，其中a、b为非零实数．（1）利用单调性定义证明：当12ab==时，fx在(0,)+¥上单调递增；（2）当12ab==时，若不等式(sincos)(sin2)ffmqqq+³-对[0,]2pq"Î恒成立，求实数m的取值范围；（3）若()fx为奇函数，函数22()ee()2xxgxfx-=++-，0,ln2xÎ，探究是否存在实数a，使()gx的最小值为1-？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．