第1页，共8页2024-2025学年浙江省四校高一下学期3月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数𝑧满足𝑧(1+𝑖)=𝑖，则复数𝑧对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知单位向量𝑎，𝑏满足𝑎⋅𝑏=13，则𝑎在𝑏上的投影向量为()A.23𝑏B.12𝑏C.13𝑏D.−23𝑏3.在△𝐴𝐵𝐶中，下列等式一定成立的是()A.sin𝐴+𝐵2=−cos𝐶2B.tan𝐴+𝐵2=−tan𝐶2C.sin(2𝐴+2𝐵)=−sin2𝐶D.cos(2𝐴+2𝐵)=−cos2𝐶4.设𝑎∈𝑅，𝑧𝑖=3+𝑎𝑖，其中𝑖为虚数单位.则“|𝑧|>10”是“𝑎>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数𝑓(𝑥)=𝑥−2+cos𝑥，若𝑎=𝑓(12)，𝑏=𝑓(log143)，𝑐=𝑓(sin12)，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为()A.𝑎<𝑏<𝑐B.𝑏<𝑎<𝑐C.𝑐<𝑎<𝑏D.𝑏<𝑐<𝑎6.设𝑂是坐标原点，单位圆𝑂上一点𝐴，射线𝑂𝐴绕着𝑂点逆时针旋转𝜃后得到𝑂𝑃，𝑃为与单位圆的交点，𝑃的坐标为(𝑎,𝑏)，则𝐴的坐标为()A.(𝑎cos𝜃+𝑏sin𝜃,𝑏cos𝜃−𝑎sin𝜃)B.(𝑏cos𝜃−𝑎sin𝜃,𝑎cos𝜃+𝑏sin𝜃)C.(𝑎sin𝜃+𝑏cos𝜃,𝑎cos𝜃−𝑏sin𝜃)D.(𝑎cos𝜃−𝑏sin𝜃,𝑎sin𝜃+𝑏cos𝜃)7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=3，∠𝐴=120∘，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶边上的点，且𝐴𝐸=𝑥𝐴𝐵，𝐴𝐹=𝑦𝐴𝐶，且2𝑥+𝑦=1，若线段𝐸𝐹，𝐵𝐶的中点分别为𝑀，𝑁，则|𝑀𝑁|的最小值为()A.72B.2114C.41313D.33926第2页，共8页8.锐角△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，满足2𝑏cos𝐴2=𝑎cos(𝐴2−𝐵)，若cos(𝐶−𝐵)+𝜆cos𝐴存在最大值，则实数𝜆的取值范围是()A.(0,2)B.(1,3)C.(0,2)D.(2,4)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知𝑧1，𝑧2为复数，则下列说法正确的是()A.若𝑧1=𝑧2，则𝑧1=𝑧2B.若|𝑧1−𝑧2|=|𝑧1+𝑧2|，则𝑧1𝑧2=0C.若𝑧1𝑧2=0，则𝑧1=0或𝑧2=0D.若𝑧21+𝑧22=0，则𝑧1=𝑧2=010.通过等式𝑎𝑏=𝑐(𝑎>0,𝑎≠1)我们可以得到很多函数模型，例如将𝑎视为自变量𝑥，𝑏视为常数，那么𝑐就是𝑎(即𝑥)的函数，记为𝑦，则𝑦=𝑥𝑏，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令𝑐=𝑒，(𝑒是自然对数的底数)，将𝑎视为自变量𝑥(𝑥>0,𝑥≠1)，则𝑏为𝑥的函数，记为𝑦=𝑓(𝑥)，下列关于函数𝑦=𝑓(𝑥)的叙述中正确的有()A.𝑓(𝑒2)=12B.∀𝑥∈(0,1)∪(1,+∞)，𝑒𝑓(𝑥)=1𝑥C.若𝑚>𝑛>0，且𝑚，𝑛均不等于1，|𝑓(𝑚)|=|𝑓(𝑛)|，则𝑚2+4𝑛2≥4D.若对任意𝑥∈(0,1)∪(1,+∞)，不等式(𝑚𝑥2+𝑥+2𝑚−1)𝑓(𝑥)>0恒成立，则实数𝑚的值为011.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆𝑂的半径2，点𝑃是圆𝑂内的定点，且𝑂𝑃=2，弦𝐴𝐶，𝐵𝐷均过点𝑃，则下列说法正确的是()A.𝑃𝐴⋅𝑃𝐶为定值B.当𝐴𝐶⊥𝐵𝐷时，𝐴𝐵⋅𝐶𝐷为定值C.当∠𝐴𝐵𝐶=𝜋3时，△𝐴𝐵𝐶面积的最大值为32D.𝑂𝐴⋅𝑂𝐶的取值范围是[−4,0]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知𝑖为虚数单位，若复数𝑧满足|𝑧−4𝑖|=2，则|𝑧+1−𝑖|的取值范围是．第3页，共8页13.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点𝐴，𝐵，𝐶处测得其顶点𝑃的仰角分别为30∘，60∘，45∘，且𝐴𝐵=𝐵𝐶=50米，则塔的高度𝑂𝑃=米.14.设𝑦=𝑚(𝑚>0)与𝑓(𝑥)=12sin(2𝑥+𝜑)图象的相邻3个公共点自左向右依次为𝐴，𝐵，𝐶，若|𝐴𝐵|=2|𝐵𝐶|，则𝑚的值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知𝑎=(cos𝛼,sin𝛼)，𝑏=(cos𝛽,sin𝛽)，0<𝛽<𝛼<𝜋．(Ⅰ)若|𝑎−𝑏|=3，求𝑎⋅𝑏;(Ⅱ)设𝑐=(−1,0)，若𝑎−𝑏=𝑐，求𝑎，𝑏的夹角𝜃．16.(本小题15分)已知△𝐴𝐵𝐶内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑏𝑐3sin𝐶，tan𝐴tan𝐶=4．(1)求角𝐵的大小;(2)若∠𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝐷与边𝐴𝐶相交于点𝐷，𝐵𝐷=635，𝑏=7，求△𝐴𝐵𝐶的周长．17.(本小题15分)已知锐角△𝐴𝐵𝐶...