学科网（北京）股份有限公司保密★启用并使用完毕前高三年级9月学习质量综合评估数学本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1iz=+，则zz⋅=A．2B．2C．2iD．2i−2．点()1,2到抛物线22yx=的焦点的距离为A．1B．32C．2D．33．集合M中的元素个数记为M，若5A=，3AB=，6AB=，则B=A．1B．2C．3D．44．若a，b均为非零向量，则“abab+=−”是“ab⊥”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．不全相等的正整数a，b，c，d构成一组数据，若它们的平均数和中位数均为2，则该组数据的极差为A．1B．2C．3D．46．已知直线ykxb=+与曲线1exy−=和ln1yx=+均相切，则kb+=A．1B．2C．eD．1e7．由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为x（01x<<）的液体，在正方体自由旋转的过程中，若液体形成的几何体可能是三棱锥，则x的最大值为学科网（北京）股份有限公司A．16B．14C．13D．128．若0a>，则关于x的方程22cosxxaa−−=的实数根的个数为A．1B．2C．3D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在锐角ABC△中，则A．222abc+>B．sincosAB>C．cossinAB>D．()sincoscosABAB+<+10．已知三棱锥PABC−的外接球O的半径为1，且BACA⊥，PO⊥平面ABC，则下列结论正确的有A．三棱锥PABC−为正三棱锥B．平面PBC⊥平面ABCC．ABC△面积的最大值为1D．三棱锥PABC−体积的最大值为328111．将1，2，3，…，2n（n∗∈N，3n≥）这2n个连续正整数随机分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为1A，最大数为nA；B组最小数为1B，最大数为nB，则下列结论正确的有A．若3n=，则31AB<的概率为110B．若3n=，则3131AABB−=−的概率为25C．1nAn=+的概率为()()2!2!nnnD．()221nnnEAn+=+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知双曲线C：22221xyab−=（0a>，0b>）的渐近线方程为12yx=±，则C的离心率为________．13．已知函数()()()sincos0fxxxϕϕ=++>的最大值为2，则ϕ的最小值为________．14．已知集合{}*114Axx=∈≤≤N，BA⊆，任取m，n，pB∈，mnp<<，都有2mpn+≠，则集合B中元素个数的最大值为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()cossinfxxxx=+．（1）判断()fx的奇偶性并给出证明；学科网（北京）股份有限公司（2）证明：()fx在区间π,π2有且仅有一个零点．16．（本小题满分15分）已知三棱柱111ABCABC−的棱长均为1，且11π3AACAAB∠=∠=．（1）证明：1ABAC⊥；（2）求平面1AAC与平面ABC夹角的正切值．17．（本小题满分15分）已知椭圆E：22221xyab+=（0ab>>）的左顶点为A，下顶点为B，短轴长为4，离心率为53．()00,Pxy是E上位于第一象限内的动点，直线PA交y轴于点M，直线PB交x轴于点N．（1）求E的方程；（2）证明：四边形ABNM的面积为定值．18．（本小题满分17分）盒内装有n张相同的卡牌，编号分别为1，2，3，…，n．从盒内每次不放回地取出一张卡牌，直至卡牌全部取出．具体规则如下：①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌；②第k次取卡（2kn≤≤）：若k号卡牌仍在盒内，则取出k号卡牌；否则，从盒内随机取出1张卡牌．（1）已知6n=．（ⅰ）求第2次取出的是2号卡牌的概率；（ⅱ）设第3次取出的卡牌编号为X，求X的分布列与数学期望；（2）求最后一次取出的是n号卡牌的概率．19．（本小题满分17分）已知数列A：1a，2a，…，na的各项均为正整数，且1kkaa−≤，k=2，3，...