小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考向28利用空间向量求空间角1.（2022年甲卷理科第18题）在四棱锥中，底面，，，，．（1）证明：；（2）求与平面的所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1） 底面，∴，取中点，连接，可知， ，∴，∴四边形为平行四边形，∴， ，∴为直角三角形，为斜边，∴， ，∴平面，∴.（2）由（1）知，，，两两垂直，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，不妨设，则，设与平面的所成角为，则，∴与平面的所成的角的正弦值为.2.（2022年乙卷理科第18题）如图，四面体中为中点.(1)证明：平面平面；(2)设点在上，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）..,.平面平面.(2)在中，.在中，,,..、、两两互相垂直.由点在上且，由于当的面积最小时小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在中，如图，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.、、、、、、=设平面的法向量为.可得设设与所成的角为，与平面所成角的为所以与平面所成角的正弦值为.3.（2022年新高考1卷）19．（12分）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设到平面的距离为，，，所以，所以，所以到平面的距离为．(2)取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面,，则，所以，因为直三棱柱，所以，因为，所以平面，所以，由，所以，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，ABCA1B1C1D小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，，，，，平面BDC的法向量设为，平面BDA的法向量设为，，，，所以，所以，设，则，所以，所以，设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为．4.（2022年新高考2卷）如图，是三棱锥的高，，，是的中点，（1）求证：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．ABCA1B1C1DExyz小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）法一：连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，所以，，所以，又，，所以，所以，作中点，连接、，则有，又，所以，又因为平面，平面，所以平面，又、分别为、的中点，所以，在中，又因为平面，平面，所以平面，又、平面，，所以平面平面，又平面，所以平面；法二：（1）连接、,因为是三棱锥的高，所以平面，所以,，所以,又,,所以,所以,又,在中，为中点，延长,交于，连接,所以在中，、分别为、的中点，所以,因为平面,平面,所以平面；（2）法一：过点作，以为轴，为轴，为轴．建立如图所示的空间直角小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com坐标系．因为，，由（1），又，所以，，所以，，，，设，则，平面的法向量设为，直线的方向向量可设为，直线平面，直线的方向向量为，所以，所以，设，则，所以；平面的法向量设为，，，所以，所以，设，则，所以；所以小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为法二：（2）过点作,以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为,,由（1）,又，所以,,所以,,,,设，则，平面的法向量设为，，，所以，所以，设，则，所以；平面的法向量设为，，,所以，所以，设，则，所以；所以小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为。1.利用向量法求面直所成角的一般步是：异线骤（1）好基底或建立空直角坐系；选间标（2）求出直的方向向量两线v1，v2；(3)代入公...