小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题14三角函数与解三角形第一缉1．【2021年江西预赛】△ABC中,AB¿c,BC=a,AC=b,且a4+b4+c4=2c2(a2+b2),若∠A=72°,则∠B=¿.【答案】63【解析】cos2C=(a2+b2−c22ab)2=a4+b4+c4+2a2b2−2c2(a2+b2)4a2b2=2a2b24a2b2=12，cosC=±❑√22,但C<180°−A=108°,cosC=❑√22,C=45°,因此B=180°−A−C=63°.2．【2021年江西预赛】1sin10°−❑√3cos10°的值是.【答案】4【解析】1sin10°−❑√3cos10°=cos10°−❑√3sin10°sin10°⋅cos10°=4⋅12cos10°−❑√32sin10°2sin10°cos10°=4⋅sin20°sin20°=4.3．【2021年吉林预赛】已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=−35,sin(β−π4)=1213.则cos(α+π4)的值为.【答案】−5665【解析】因为α,β∈(3π4,π).所以α+β∈(3π2,2π),β−π4∈(π2,3π4).因为sin(α+β)=−35,sin(β−π4)=1213,所以cos(α+β)=45,cos(β−π4)=−513.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以cos(α+π4)=cos(α+β−(β−π4))¿cos(α+β)cos(β−π4)+sin(α+β)sin(β−π4)¿45×(−513)+(−35)×1213=−5665.4．【2021年福建预赛】若5π是函数f(x)=cosnx⋅sin80n2x的一个周期,则正整数n的所有可能取值为.【答案】2,10【解析】由5π是函数f(x)=cosnx⋅sin80n2x的一个周期，得：f(5π)=cos5nπ⋅sin80n2⋅5π=f(0)=0，由于n为正整数吋,cos5nπ=±1≠0,于是sin400n2π=0.所以，400n2π=kπ(k∈Z),n2∣400.于是,n=1,2,4,5,10,20.将n=1,2,4,5,10,20逐一代入验证可矢,n=2,10.所以，正整数n的所有可能取值为2，10.5．【2021年浙江预赛】计算sin220∘+cos250∘+sin20∘cos50∘=¿.【答案】34【解析】原式¿sin220°+cos10°cos50°=1−cos40°2+12+cos40°2=34.6．【2021年浙江预赛】在△ABC中,∠B=∠C=30°,BC=2❑√3,P,Q分别在线段AB和AC上,AP=1,AQ=❑√2,直线AD⊥BC于D。现将三角形△ABC沿着AD对折，当平面ADB与平面ADC的二面角为60°时，则线段PQ的长度为.【答案】❑√3−5❑√24小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】依题意可知∠BDC=60∘，又BD=CD=❑√3，所以BC=❑√3，所以cos∠PAQ=AP2+AQ2−PQ22AP⋅AQ=AB2+AC2−BC22AB⋅AC，即3−PQ22❑√2=58,可得PQ=❑√3−5❑√24.7．【2021年浙江预赛】已知△ABC三个顶点的坐标为A(0,0),B(7,0),C(3,4),过点(6−2❑√2,3−❑√2)的直线分别与线段AC,BC交于P,Q。若SΔPQC=143,则¿CP∨+¿CQ∨¿.【答案】4+4❑√23【解析】如下图所示,设D(6−2❑√2,3−❑√2),易知AC:y=43x,BC:y=7−x,可得dD−AC=dD−BC=3−❑√2,则S△PQC=(3−❑√2)∨CP∨+¿CQ∨¿2=143,故得¿CP∨+¿CQ∨¿4+4❑√23.8．【2021年广西预赛】设sinα+sinβ=45❑√2,cosα+cosβ=45❑√3,则tanα+tanβ=¿.【答案】❑√6【解析】tanα+β2=sinα+sinβcosα+cosβ=❑√2❑√3,cos(α−β)=35.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故tanα+tanβ=sin(α+β)cosαcosβ=2sin(α+β)cos(α−β)+cos(α+β)=❑√6.9．【2021年新疆预赛】sin2100°−sin50°sin70°=¿.【答案】14【解析】方法一:原式¿cos210°−sin50°sin70°=12+12cos20°+12(cos120°−cos20°)=14；方法二:原式¿cos210°−sin50°sin70°=12+12cos20°−sin50°sin70°¿12+12cos(70°−50°)−sin50°sin70°=12+12(cos50°cos70°+sin50°sin70°)−sin50°sin70°¿12+12(cos50°cos70°−sin50°sin70°)=12+12cos120°=14.10．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设函数f(x)=cosx+log2x(x>0),若正实数a满足f(a)=f(2a),则f(2a)−f(4a)的值为.【答案】−3或−1【解析】由条件得cosa+l...