学科网（北京）股份有限公司保密★启用并使用完毕前2026年全市高三年级9月学习质量综合评估数学本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1iz=+，则zz⋅=A．2B．2C．2iD．2i−2．点()2,1到抛物线22xy=的焦点的距离为A．1B．32C．2D．33．已知M表示集合M中的元素个数，若5A=，3AB=，6AB=，则B=A．5B．6C．3D．44．若a，b均为非零向量，则“abab+=−”是“ab⊥”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知直线ykxb=+与曲线1exy−=和ln1yx=+均相切，则kb+=A．1B．2C．eD．1e6．不全相等的正整数a，b，c，d构成一组数据，若它们的平均数和中位数均为2，则该组数据的极差为学科网（北京）股份有限公司A．1B．2C．3D．47．由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为(01)xx<<的液体，在正方体自由旋转的过程中，液面形成图形记为Γ，液体形成的几何体记为Ω，则下列说法错误的是A．Ω可能是正三棱锥B．Γ不可能为直角三角形C．当12x=时，Γ的面积最大值为334D．当Ω为三棱锥时，Ω的体积最大值为168．若0a>，则关于x的方程22cosxxaa−−=的实数根的个数为A．2B．3C．4D．不确定二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在锐角ABC△中，则A．sincosAB>B．cossinAB>C．()sincoscosABAB+<+D．存在ABC△，()sinsinsinABAB+>+10．已知点P，A，B，C均在半径为1的球O的表面上，且PO⊥平面ABC，则下列结论正确的有A．三棱锥PABC−为正三棱锥B．若BACA⊥，则平面PBC⊥平面ABCC．ABC△面积的最大值为334D．三棱锥PABC−体积的最大值为832711．将1，2，3，…，()*2,3nnn∈≥N这2n个连续正整数随机分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为1A，最大数为nA；B组最小数为1B，最大数为nB，则下列结论正确的有A．若3n=，则31AB<的概率为110B．若3n=，则3131AABB−=−的概率为25学科网（北京）股份有限公司C．1nAn=+的概率为()2(!)2!nnnD．()221nnnEAn+=+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线3yx=−与双曲线222:14xyCb−=有且仅有一个公共点，则C的离心率为________．13．已知函数()()sincos(0)fxxxϕϕ=++>，若()fx的最小值为2−，则ϕ的最小值为________．14．已知集合{}*|114Axx=∈≤≤N，BA⊆，任取m，n，pB∈，mnp<<，都有2mpn+≠，则集合B中元素个数的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()cossin1fxxxx=+−．（1）判断()fx的奇偶性并给出证明；（2）讨论()fx在区间()π,π−上的零点个数．16．（本小题满分15分）在三棱柱111ABCABC−中，1160AACAAB∠=∠=°，且棱长均为1．（1）证明：1ABAC⊥；（2）求平面1AAC与平面ABC夹角的正切值．17．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，左顶点为A，下顶点为B，E的短轴长为4，离心率为53．点()00,Pxy是E上位于第一象限内的动点，直线PA交y轴于点M，直线PB交x轴于点N．（1）求E的方程；（2）证明：四边形ABNM的面积为定值．学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分17分）盒内装有n张相同的卡牌，编号分别为1，2，3，…，n．从盒内每次不放回地取出一张卡牌，直至卡牌全部取出．具体规则如下：①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌；②第k次取卡（2kn≤≤）：若k号卡牌仍在盒内，则取出k号卡牌；否则，从盒内随机取出1张卡牌．（1）若6n=．（i）求第2次取出的是2...