1导数双变量问题题型脑图·核心考法构建考法深研·解题技能通关题型01双变量技巧--构造对称函数方法技巧1.适用题型：已知fx1=fx2、两零点、两极值点，求证x1+x2>m/x1x2>m；2.通用四步流程：①不妨设x1<x2，求出fx单调区间，确定两变量分属增减区间；②构造对称辅助函数Fx=fx-f2t-x(t为极值点/对称轴)；③求导判断Fx单调性，结合Ft=0得到x<t时fx<f2t-x；④代入x1，利用fx1=fx2脱去f，转化自变量不等式；3.补充要点：•极值点x0是对称中心，固定2x0-x构造对称式；•证明乘积型偏移，先取对数转化和型偏移再构造；•最后必须结合定义域、单调性完成放缩证明。1.(2026高三·黑龙江·期中)已知函数f(x)=xlnx+1-x,g(x)=2lnx+1x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)设h(x)=f(x)+g(x)，求h(x)的单调区间；(3)若存在x1,x2∈(0,+∞)，使得g(x1)=f(x2)，求证：x1x2≤1.22.(2026·甘肃张掖·模拟预测)已知函数fx=a-2lnx+1x-x，a∈R．(1)若函数fx在0,+∞上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a=4，函数gx=xlnx+1-x，且存在x1,x2∈0,+∞，使得fx1=gx2，求证：x1⋅x2≤1．33.(2026高三·陕西西安·阶段检测)已知函数fx=lnx+12x2-ax+32,a>0．(1)当x∈1,+∞时，函数fx≥0恒成立，求实数a的最大值；(2)当a=2时，若fx1+fx2=0，且x1≠x2，求证：x1+x2>2．4题型02双变量技巧--比值换元方法技巧换元法：也是最核心、最常见的方法。就是将式子齐次化，化成形如fx1x2的函数，进行了齐次化后可以令x1x2作为单元，这样就达到了减元的目的。4.(2026高三·全国·专题练习)已知函数fx=xlnx-12mx2-xm∈R．(1)若函数fx在0,+∞上是减函数，求实数m的取值范围；(2)若函数fx在0,+∞上存在两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：lnx1+lnx2>2．55.(2026高三·天津静海·期中)已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R)．(1)当a=12时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)当x>0时，若函数f(x)有2个不同的零点x1，x2．(ⅰ)求a的取值范围；(ⅱ)证明：x1+x2>466.(2026高三·江西赣州·期末)已知函数fx=eax-ax2．(1)当a=1时，求函数fx的单调区间；(2)若fx有两个极值点x1，x2，且x1<x2．(i)求实数a的取值范围；(ii)当x1+x2<eln3时，求x2x1的取值范围．77.(2026高三·河南三门峡·期末)已知函数f(x)=12x(1-ax)-lnx(a∈R)．(1)当a=-12时，证明：f(x)≥34；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1>x2，(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：fx1-fx2x1-x2<14-4a．88.(2026·湖南湘潭·模拟预测)已知函数fx=12x2+1-ax-xlnx有两个极值点x1,x2(x1<x2)，则实数a的取值范围为；若3x1≥x2，则lnx1+lnx2+2a的最大值为．9.(2026高三·福建龙岩·期末)已知函数fx=exax+blnx，a,b∈R．(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=ex，求a，b的值；(2)已知a=1，记fx为fx的导函数，gx=fxex，若gx存在两个极值点x1,x2x1<x2．(ⅰ)证明：gx2<0；(ⅱ)已知gx1-gx2>-e2+2e+3e，求x2x1的取值范围．910.(2026·河南周口·模拟预测)已知函数fx=xe-x-ax．(1)若a=2，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；(2)当x∈0,1时，fx≥-e，求实数a的取值范围；(3)若a=0，且存在x1，x2x1≠x2，使得fx1=fx2，证明：x1+x2>2．1011.(2026高三·江苏扬州·阶段检测)已知函数fx=lnx+12a-x2，其中a∈R.(1)当a=1时，求函数fx在1,f1处的切线方程；(2)若函数fx在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若fx在0,2上存在两个极值点x1，x2x1<x2，求fx2-fx1的取值范围.11题型03双变量技巧--差值换元方法技巧换元法：也是最核心、最常见的方法。就是将式子齐次化，化成形如f(x1-x2)的函数，进行了齐次化后可以令x1-x2作为单元，这样就达到了减元的目的。12.(2026·河北石家庄·模拟预测)已知函数f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其中e为自然对数的底数.(1)讨论函数y=f(x)的单调性；(2)若函...