小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考向19等差数列及其前n项和1.（2022年乙卷文科第13题）记为等差数列的前项和.若，则公差．【答案】2【解析】因为，所以，即，所以.2.（2022年北京卷第6题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.3.（2022新课标1卷第17题）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求得通项公式；（2）证明：．【解析】（1），所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．当时，，所以，即（）；累积法可得：（），又满足该式，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以得通项公式为．（2）．4.（2022新课标2卷第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列公差为由，知，故由，知，故；故，整理得，得证．（2）由（1）知，由知：即，即，因为，故，解得故集合中元素的个数为9个．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记为数列的前项和.已知.（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值.【答案】（1）略；（2）【解析】（1）由于，变形为，记为①式，又，记为②式，-①②可得即，所以是等差数列；（2）由题意可知，即，解得，所以，其中，则的最小值为.6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．①数列{an}为等差数列；②数列{√Sn}为等差数列；③a2=3a1．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】见解析．【解析】一、选择条件①③已知{an}为等差数列，a2=2a1，设公差为d，则a2=3a1=a1+d，即d=2a1小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为Sn=na1+n(n−1)2d=n2a1，则√Sn=√a1⋅n(a1>0)所以数列{√Sn}为等差数列二、选择条件①②已知{an}为等差数列，数列{√Sn}为等差数列，设公差为d则an=a1+(n−1)d，Sn=na1+n(n−1)2d=12n2d+(a1−d2)n若数列{√Sn}为等差数列，则a1=d2，所以a2=a1+d=3a1三、选择条件②③已知数列{√Sn}为等差数列，a2=3a1设公差为d则√S2−√S1=d，即√4a1−√a1=d则a1=d2√Sn=√S1+(n−1)d=nd则Sn=n2d，an=Sn−Sn−1=2dn−d所以{an}为等差数列7.（2021年全国一卷第19题）记为数列的前项和，为数列的前项积.已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）当时，，易得.当时，，代入消去得，，化简得，是以为首项，为公差的等差数列.（2）易得.由（1）可得，由可得.当时，，显然不满足该式；.8.（2021年新高考2卷第17题）记是公差不为0的等差数列的前项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知：即：故所以数列的通项公式为．（2）由（1）知小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又即1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中...