考向36立体几何中的向量方法1．（2021·全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.2．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）见解析；（2）【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．【详解】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，．由题设（）．（1）因为，所以，所以．（2）设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时．【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出（），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．2．（2021·山东高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求与所成角的余弦值；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】(1)由题意可得即为SA与BC所成的角，根据余弦定理计算即可；(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.【详解】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，，又在正方形中，因此，因此与所成角的余弦值是．（2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，，因此平面，又因为平面，因此．1、利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系．第二步：确定点的坐标．第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标．第四步：计算向量的夹角(或函数值)．第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．2、利用向量求线线角的解题策略(1)向量法求异面直线所成的角的方法有两种①基向量法：利用线性运算．②坐标法：利用坐标运算．(2)注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.a与b的夹角为βl1与l2所成的角为θ范围[0，π]求法cosβ＝cosθ＝|cosβ|＝3、向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．如图所示，设直线l的方向向量为e，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝.4、求二面...