小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点13解三角形的重要模型和综合应用【九大题型】【新高考专用】解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；综合考查以解答题为主，中等难度.对于解答题，主要考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，需要灵活求解.【知识点1解三角形中的重要模型】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1．中线模型(1)中线长定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.(2)向量法：.2．倍角模型，这样的三角形称为“倍角三角形”．推论1：；推论2：.3．角平分线模型角平分线张角定理：如图，为平分线，则斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积．4．等分点模型小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，．【知识点2正、余弦定理解三角形的解题策略】1．正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，实现三角形边角关系的互化，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2．对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论.3．与三角形面积有关问题的求解思路：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．(2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【题型1三角形中的边、角计算】【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA=35,B=2A,b=8，则a=¿（）A．52B．5C．103D．203【解题思路】根据二倍角公式可和正弦定理求解.【解答过程】由于B=2A，故A为锐角，故cosA=❑√1−sin2A=45,故a=bsinAsinB=bsinAsin2A=b2cosA=5.故选：B.【变式1-1】（2025·广东·一模）如图，已知∠CAB=45°，∠ACB=15°，AC=❑√6，CD=❑√7，则BD=¿（）A．−1+❑√132B．1+❑√132C．3或1D．3【解题思路】由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠CAB，从而求出BC，再由余弦定理得CD2=BC2+BD2−2⋅BC⋅BD⋅cos60°，由此能求出BD．【解答过程】 ∠CAB=45°，∠ACB=15°，AC=❑√6，所以∠ABC=120°.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴ACsin∠ABC=BCsin∠CAB，∴BC=AC×sin45°sin120°=❑√6×❑√22❑√32=2，∴CD2=BC2+BD2−2⋅BC⋅BD...